Решения заданий ФИПИ ОГЭ по математике: «Окружность и вписанные фигуры» — с ответами

Обозначим через $x$ половину центрального угла, опирающегося на хорду $AB$. Тогда половина центрального угла, опирающегося на хорду $CD$, равна $60^\circ - x$, поскольку угол между пересекающимися хордами равен половине суммы…$$\angle AKB = \frac{1}{2}\left(2x + 2(60^\circ-x)\right)=60^\circ$$

Используем формулу длины хорды $a=2R\sin\alpha$, где $\alpha$ — половина центрального угла, опирающегося на эту хорду:$$39=2R\sin x,\qquad 6=2R\sin(60^\circ-x)$$

Введём координаты: $A=(0,0)$, $D=(49,0)$, $B=(x,h)$, $C=(x+21,h)$. Тогда горизонтальная проекция отрезка $CD$ на основание $AD$ равна $49-21-x=28-x$.$$AB^2=x^2+h^2=400$$

Обозначим углы при основании $AD$ через $\alpha$ и $\beta$. Так как $\alpha+\beta=90^\circ$, то $\tan\alpha\tan\beta=1$.$$\frac{h}{x}\cdot\frac{h}{28-x}=1$$

Расположим трапецию в координатной плоскости: $A=(0,0)$, $D=(18,0)$, $B=(x,h)$, $C=(x+6,h)$. Тогда $AB^2=x^2+h^2=100$.

Обозначим угол при вершине $A$ через $\alpha$, а угол при вершине $D$ через $\beta$. Так как $\alpha+\beta=90^\circ$, имеем $\tan\beta=\cot\alpha$. Из координат следует $\tan\alpha=\dfrac{h}{x}$ и $\tan\beta=\dfrac{h}{12-x}$. Поэтому…

Расположим трапецию в координатной плоскости: $B(0,0)$, $C(15,0)$, $A(0,h)$, $D(20,h)$. Пусть $E(0,e)$.

Так как окружность касается прямой $AB$, её центр имеет координаты $(r,e)$, а уравнение окружности имеет вид:$$x^2+y^2-2rx-2ey+e^2=0$$

Угол между пересекающимися хордами равен половине суммы дуг, стягиваемых этим углом и вертикальным ему углом. Поэтому сумма дуг $AB$ и $CD$ равна $120^\circ$, а сумма соответствующих половин дуг равна $60^\circ$.$$x+y=60^\circ$$

По формуле длины хорды выразим синусы половин дуг:$$\sin x=\frac{AB}{2R}=\frac{5}{2R},\qquad \sin y=\frac{CD}{2R}=\frac{17}{2R}$$

Введём координаты: $A=(0,0)$, $D=(28,0)$, $B=(x,h)$, $C=(x+4,h)$. Тогда горизонтальная проекция стороны $CD$ равна $24-x$.$$AB^2=x^2+h^2=225$$

Так как сумма углов при основании $AD$ равна $90^\circ$, соответствующие тангенсы являются взаимно обратными.$$\frac{h}{x}\cdot\frac{h}{24-x}=1$$

Обозначим центры окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:$$O_1O_2=44+77=121$$

Радиусы, проведённые в точки касания с одной и той же общей касательной, перпендикулярны этой касательной. Поэтому точки касания $A$ и $B$ лежат на прямой, перпендикулярной общей линии центров, и прямая $AB$ перпендикулярна $O_1O_2$…

Расстояние от центра вписанной окружности до стороны $AC$ равно радиусу окружности: $r=3$. Так как $AO=5$, то в прямоугольном треугольнике, образованном перпендикуляром к $AC$, второй катет равен$$\sqrt{AO^2-r^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4$$

Расположим $A=(0,0)$, прямую $AC$ вдоль оси абсцисс. Тогда можно принять $O=(4,3)$. Прямая $AB$ является касательной к окружности с центром $O$ и радиусом $3$. Её уравнение имеет вид $24x-7y=0$, поэтому направляющий вектор стороны $AB$…

Пусть $BH=CK=h$ — высота трапеции, а $AH=x$. Тогда $KD=24-x$, так как разность оснований равна $36-12=24$.$$AD-BC=36-12=24$$

Пусть углы при основании $AD$ равны $\alpha$ и $\beta$. Так как $\alpha+\beta=90^\circ$, то $\tan\beta=\cot\alpha$. Следовательно, $\dfrac{h}{24-x}=\dfrac{x}{h}$.$$h^2=x(24-x)$$

Обозначим центры окружностей через $O_1$ и $O_2$. Так как окружности касаются внешним образом, расстояние между их центрами равно сумме радиусов:$$O_1O_2=42+84=126$$

Прямые $AB$ и $CD$ являются хордами, соединяющими точки касания двух общих внешних касательных с соответствующими окружностями. Поэтому обе эти прямые перпендикулярны линии центров $O_1O_2$.

Расположим трапецию в координатной плоскости: $B=(0,0)$, $C=(9,0)$, $A=(0,h)$, $D=(12,h)$), где $h>0$. Пусть $E=(0,e)$. Центр окружности, касающейся прямой $AB$, имеет координаты $(r,e)$.

Так как окружность проходит через $C$ и $D$, получаем после подстановки координат точек в уравнение окружности:$$h^2-2eh-e^2-18=0$$

Пусть $BH$ и $CK$ — высоты трапеции, $BH=CK=h$, а $AH=x$. Тогда $DK=32-4-x=28-x$.$$AB^2=x^2+h^2=14^2$$

Обозначим углы при основании $AD$ через $\alpha$ и $\beta$. По условию $\alpha+\beta=90^\circ$, поэтому $\tan\alpha\tan\beta=1$.$$\frac{h}{x}\cdot\frac{h}{28-x}=1$$

Пусть $\alpha$ и $\beta$ — центральные углы, опирающиеся соответственно на хорды $AB$ и $CD$. По теореме об угле, образованном двумя пересекающимися хордами,$$\angle AKB = \frac{\alpha + \beta}{2}$$

Так как $\angle AKB = 60^\circ$, получаем$$\alpha + \beta = 120^\circ$$

По теореме об угле, образованном двумя пересекающимися хордами внутри окружности, получаем: сумма дуг $AB$ и $CD$ равна $120^\circ$.

Обозначим через $\alpha$ и $\beta$ половины центральных углов, опирающихся соответственно на хорды $AB$ и $CD$. Тогда $\alpha + \beta = 60^\circ$.

Пусть $2x$ и $2y$ — величины центральных углов, опирающихся соответственно на хорды $AB$ и $CD$. По теореме о вписанных хордах, пересекающихся внутри окружности, угол между хордами равен половине суммы дуг, заключённых между сторонами…$$\angle AKB = x+y = 60^\circ$$

Длина хорды выражается через радиус окружности и половину соответствующего центрального угла.$$AB=2R\sin x,\qquad CD=2R\sin y$$

Расположим трапецию в координатной плоскости: $A(0,0)$, $D(34,0)$, $B(x,h)$, $C(x+14,h)$. Тогда горизонтальная проекция отрезка $CD$ равна $x-20$.

Пусть $\alpha=\angle A$, $\beta=\angle D$. Из условия $\alpha+\beta=90^\circ$ получаем $\tan\alpha\tan\beta=1$, то есть $\dfrac{h}{x}\cdot\dfrac{h}{20-x}=1$.$$h^2=x(20-x)$$

Расстояние от центра вписанной окружности до стороны $AC$ является радиусом этой окружности, поэтому $r=7$.

Пусть $H$ — основание перпендикуляра из $O$ на $AC$. Тогда $OH=7$, $OA=25$, и треугольник $AOH$ прямоугольный. Следовательно, по теореме Пифагора:$$AH=\sqrt{OA^2-OH^2}=\sqrt{25^2-7^2}=\sqrt{576}=24$$

Введём координаты: $A=(0,0)$, а центр окружности $O$ расположим на оси абсцисс: $O=(R,0)$, где $R$ — радиус описанной окружности. Тогда уравнение окружности имеет вид$$(x-R)^2+y^2=R^2$$

Так как точки $B$ и $C$ лежат на этой окружности, а $AB=30$ и $AC=100$, для любой точки $X=(x_X,y_X)$ окружности выполняется $x_X=\dfrac{AX^2}{2R}$. Поэтому$$x_B=\dfrac{30^2}{2R}=\dfrac{450}{R},\qquad x_C=\dfrac{100^2}{2R}=\dfrac{5000}{R}$$

Расположим трапецию в координатной плоскости: $B=(0,0)$, $C=(10,0)$, $A=(0,h)$, $D=(20,h)$. Пусть $E=(0,e)$. Тогда прямая $CD$ имеет уравнение $y=h$, поэтому искомое расстояние равно $|h-e|$.$$d=|h-e|$$

Так как окружность касается прямой $AB$, её уравнение имеет вид$$x^2+y^2+ux-2ey+e^2=0$$

Обозначим через $u$ и $v$ половины центральных углов, опирающихся соответственно на хорды $AB$ и $CD$. По теореме об угле, образованном пересекающимися хордами, угол между диагоналями равен полусумме дуг $AB$ и $CD$, поэтому $u+v=60^\circ$.$$u+v=60^\circ$$

Для хорды длиной $l$ справедливо $l=2R\sin\alpha$, где $\alpha$ — половина соответствующего центрального угла. Поэтому$$\sin u=\frac{39}{2R},\qquad \sin v=\frac{12}{2R}$$