Решение: Расстояние от точки до стороны
В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ перпендикулярна основанию $BC$. Окружность проходит через точки $C$ и $D$ и касается прямой $AB$ в точке $E$. Найдите расстояние от точки $E$ до прямой $CD$, если $AD = 20$, $BC = 15$.
Решение по шагам
8 шаговРасположим трапецию в координатной плоскости: $B(0,0)$, $C(15,0)$, $A(0,h)$, $D(20,h)$. Пусть $E(0,e)$.
Так как окружность касается прямой $AB$, её центр имеет координаты $(r,e)$, а уравнение окружности имеет вид:
$$x^2+y^2-2rx-2ey+e^2=0$$Подставим координаты точки $C(15,0):$
$$225-30r+e^2=0$$Подставим координаты точки $D(20,h)$ и исключим $r$. Получим:
$$3h^2-6eh-e^2+300=0$$Прямая $CD$ проходит через точки $(15,0)$ и $(20,h)$, поэтому её уравнение можно записать так:
$$hx-5y-15h=0$$Расстояние от точки $E(0,e)$ до прямой $CD$ равно:
$$d=\frac{5(e+3h)}{\sqrt{h^2+25}}$$Возведём выражение в квадрат и воспользуемся равенством $3h^2-6eh-e^2+300=0$:
$$d^2=\frac{25(e+3h)^2}{h^2+25}=\frac{25(e^2+6eh+9h^2)}{h^2+25}=300$$Следовательно, искомое расстояние равно:
$$d=\sqrt{300}=10\sqrt{3}$$10\sqrt{3}
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно задают координаты вершин трапеции и используют длину основания $AD$ как вертикальный отрезок.
Забывают, что центр окружности, касающейся прямой $AB$, имеет ту же ординату, что и точка касания $E$.
Используют неправильную формулу расстояния от точки до прямой.