Решение: Площадь параллелограмма по расстояниям
В параллелограмме $ABCD$ проведена диагональ $AC$. Точка $O$ является центром окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Расстояния от точки $O$ до точки $A$ и прямых $AD$ и $AC$ соответственно равны $25$, $17$ и $7$. Найдите площадь параллелограмма $ABCD$.
Решение по шагам
7 шаговРасстояние от центра вписанной окружности до стороны $AC$ равно радиусу окружности, поэтому $r=7$. Так как $AO=25$, а $O$ лежит на биссектрисе угла $A$, для половины угла $A$ получаем:
$$\sin\frac{A}{2}=\frac{7}{25},\qquad \cos\frac{A}{2}=\frac{24}{25}$$Прямые $AD$ и $BC$ параллельны. Точка $O$ находится между ними, а расстояния от $O$ до этих прямых равны соответственно $17$ и $7$. Поэтому высота параллелограмма равна:
$$h=17+7=24$$Введём координаты: начало координат поместим в точку $A$, ось $Ox$ направим по биссектрисе угла $A$. Тогда $O=(25,0)$, а стороны $AB$ и $AC$ имеют направляющие векторы $\left(\frac{24}{25},\frac{7}{25}\right)$ и $\left(\frac{24}{25},-\frac{7}{25}\right)$.
Расстояние от точки $A$ до прямой $BC$ равно $24$, а расстояние от точки $O$ до этой прямой равно $7$. Поэтому уравнение прямой $BC$ можно записать в виде:
$$\frac{17}{25}x+\frac{24}{25}y=24$$Пересечения этой прямой с лучами $AB$ и $AC$ имеют координаты $B=\left(25,\frac{175}{24}\right)$ и $C=\left(60,-\frac{35}{2}\right)$ с точностью до перестановки точек $B$ и $C$.
Находим длину основания $BC$:
$$BC=\sqrt{(60-25)^2+\left(-\frac{35}{2}-\frac{175}{24}\right)^2}=\sqrt{35^2+\left(\frac{595}{24}\right)^2}=\frac{35\sqrt{865}}{24}$$Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:
$$S=BC\cdot h=\frac{35\sqrt{865}}{24}\cdot24=35\sqrt{865}$$$35\sqrt{865}$
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Принимают расстояние между прямыми $AD$ и $BC$ равным $17-7$, хотя точка $O$ находится между этими прямыми.
Используют радиус вписанной окружности не как расстояние от $O$ до $AC$, а как длину $AO$.
Забывают, что точка $O$ лежит на биссектрисе угла $A$.
Находят площадь треугольника $ABC$, а не площадь параллелограмма.