Решение: Длина хорды окружности
Отрезки $AB$ и $CD$ являются хордами окружности. Найдите длину хорды $CD$, если $AB = 24$, а расстояния от центра окружности до хорд $AB$ и $CD$ равны соответственно 16 и 12.
Решение по шагам
4 шагаПроведём из центра окружности перпендикуляры к хордам $AB$ и $CD$. Перпендикуляр из центра к хорде делит хорду пополам, поэтому половина хорды $AB$ равна $12$.
$$\frac{AB}{2}=\frac{24}{2}=12$$Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом, расстоянием от центра до хорды $AB$ и половиной хорды $AB$. По теореме Пифагора найдём радиус окружности.
$$R^2=16^2+12^2=256+144=400,\quad R=20$$Для хорды $CD$ расстояние от центра до хорды равно $12$. По теореме Пифагора найдём половину длины хорды $CD$.
$$\left(\frac{CD}{2}\right)^2=20^2-12^2=400-144=256$$Следовательно, половина хорды $CD$ равна $16$, а длина всей хорды вдвое больше.
$$CD=2\cdot16=32$$Длина хорды $CD$ равна $32$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не учитывают, что перпендикуляр из центра к хорде делит её пополам.
Вычитают расстояние до хорды из радиуса вместо применения теоремы Пифагора.
Получают длину половины хорды и не удваивают результат.