Сторона $AD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AB$. Точка $M$ — середина стороны $AD$. Докажите, что $BM$ — биссектриса угла $ABC$.
- 1
Поскольку $M$ — середина стороны $AD$, имеем $AM = \dfrac{AD}{2}$. По условию $AD = 2AB$, поэтому $AM = AB$.$$AM = \dfrac{AD}{2} = \dfrac{2AB}{2} = AB$$
- 2
Треугольник $ABM$ равнобедренный, так как в нём равны стороны $AB$ и $AM$. Поэтому углы при основании равны.$$\angle ABM = \angle BMA$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Сторона $BC$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AB$. Точка $K$ — середина стороны $BC$. Докажите, что $AK$ — биссектриса угла $BAD$.
- 1
Так как $K$ — середина стороны $BC$, имеем $BK = \dfrac{BC}{2}$.
- 2
По условию $BC = 2AB$, поэтому $BK = \dfrac{2AB}{2} = AB$.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Внутри параллелограмма $ABCD$ выбрали произвольную точку $F$. Докажите, что сумма площадей треугольников $BFC$ и $AFD$ равна половине площади параллелограмма.
- 1
Обозначим через $h_1$ расстояние от точки $F$ до прямой $BC$, а через $h_2$ — расстояние от точки $F$ до прямой $AD$.
- 2
Площади треугольников, взятых с основаниями $BC$ и $AD$, равны:$$S_{BFC}=\frac12 BC\cdot h_1,\qquad S_{AFD}=\frac12 AD\cdot h_2$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Сторона $AB$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $AD$. Точка $L$ — середина стороны $AB$. Докажите, что $DL$ — биссектриса угла $ADC$.
- 1
Обозначим $\overrightarrow{DA}=\vec a$, $\overrightarrow{DC}=\vec b$. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $DC=AB$. По условию $AB=2AD$, следовательно, $|\vec b|=2|\vec a|$.$$|\vec b|=2|\vec a|$$
- 2
Так как $L$ — середина стороны $AB$, а $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=\vec b$, имеем $\overrightarrow{AL}=\frac12\vec b$.$$\overrightarrow{AL}=\frac12\vec b$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $K$ и $M$ соответственно. Докажите, что отрезки $BK$ и $DM$ равны.
- 1
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, поэтому отрезки $BO$ и $DO$ равны.$$BO=DO$$
- 2
Рассмотрим треугольники $BOK$ и $DOM$. Углы $BOK$ и $DOM$ вертикальные, следовательно, они равны.$$\angle BOK=\angle DOM$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $BB_1$. Докажите, что углы $\angle BB_1A_1$ и $\angle BAA_1$ равны.
- 1
Так как $AA_1$ — высота треугольника, то $AA_1 \perp BC$. Поскольку точки $B$, $A_1$ и $C$ лежат на одной прямой, получаем $\angle AA_1B = 90^\circ$.
- 2
Так как $BB_1$ — высота, то $BB_1 \perp AC$. Поскольку точки $A$, $B_1$ и $C$ лежат на одной прямой, получаем $\angle AB_1B = 90^\circ$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $\angle DAC$ и $\angle DBC$ равны. Докажите, что углы $\angle CDB$ и $\angle CAB$ также равны.
- 1
Рассмотрим окружность, проходящую через точки $A$, $C$ и $D$. Угол $\angle DAC$ является вписанным и опирается на хорду $DC$.
- 2
По условию $\angle DBC = \angle DAC$. Следовательно, угол $\angle DBC$ равен вписанному углу, опирающемуся на хорду $DC$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ диагонали пересекаются в точке $P$. Докажите, что площади треугольников $APB$ и $CPD$ равны.
- 1
Рассмотрим треугольники $APD$ и $CPB$. Углы $APD$ и $CPB$ — вертикальные, поэтому они равны. Кроме того, углы $ADP$ и $CBP$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC$ и секущей $DB$.$$\angle APD=\angle CPB,\quad \angle ADP=\angle CBP$$
- 2
Следовательно, треугольники $APD$ и $CPB$ подобны по двум углам.$$\triangle APD\sim\triangle CPB$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
В треугольнике $ABC$ с тупым углом $BAC$ проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$. Докажите, что треугольники $AB_1C_1$ и $ABC$ подобны.
- 1
Поскольку $BB_1$ — высота треугольника $ABC$, имеем $BB_1 \perp AC$. Поскольку $CC_1$ — высота, имеем $CC_1 \perp AB$.
- 2
Луч $AB_1$ лежит на прямой $AC$, а луч $AC_1$ лежит на прямой $AB$. С учётом перпендикулярности высот угол между прямыми $AB_1$ и $B_1C_1$ равен углу $ABC$: $\angle AB_1C_1 = \angle ABC$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Середина $M$ стороны $AD$ выпуклого четырёхугольника $ABCD$ равноудалена от всех его вершин. Найдите $AD$, если $BC = 11$, а углы $B$ и $C$ четырёхугольника равны соответственно $126^\circ$ и…
- 1
Так как точка $M$ равноудалена от всех вершин четырёхугольника, она является центром окружности, проходящей через точки $A$, $B$, $C$, $D$. Поскольку $M$ — середина $AD$, отрезок $AD$ является диаметром этой окружности.
- 2
Угол $ABD$, опирающийся на диаметр $AD$, прямой: $\angle ABD = 90^\circ$.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $BCA$ и $BDA$ равны. Докажите, что углы $ABD$ и $ACD$ также равны.
- 1
Рассмотрим окружность, проходящую через точки $A$, $B$ и $C$. Угол $BCA$ является вписанным углом этой окружности и опирается на хорду $BA$.
- 2
По условию $\angle BCA = \angle BDA$. Так как четырёхугольник $ABCD$ выпуклый, точки $C$ и $D$ лежат по разные стороны от диагонали $AB$. Следовательно, точка $D$ также лежит на окружности, проходящей через $A$, $B$ и $C$. Значит…
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Сторона $CD$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $BC$. Точка $N$ — середина стороны $CD$. Докажите, что $BN$ — биссектриса угла $ABC$.
- 1
Так как $N$ — середина стороны $CD$, то $CN = \dfrac{CD}{2}$.
- 2
По условию $CD = 2BC$, поэтому $CN = \dfrac{CD}{2} = BC$.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
Биссектрисы углов $C$ и $D$ параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $L$, лежащей на стороне $AB$. Докажите, что $L$ — середина $AB$.
- 1
Так как $DL$ — биссектриса угла $D$, точка $L$ равноудалена от прямых $DA$ и $DC$.
- 2
Поскольку $AB \parallel CD$ и точка $L$ лежит на $AB$, расстояние от $L$ до прямой $DC$ равно расстоянию между параллельными прямыми $AB$ и $CD$. Обозначим это расстояние через $h$.
Ещё 4 қадам — толық шешімде
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $AA_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $AA_1C_1$ и $ACC_1$ равны.
- 1
Поскольку $AA_1$ — высота треугольника $ABC$, имеем $AA_1 \perp BC$. Точка $A_1$ лежит на стороне $BC$, поэтому $AA_1 \perp A_1C$ и $\angle AA_1C = 90^\circ$.$$AA_1 \perp A_1C \Rightarrow \angle AA_1C=90^\circ$$
- 2
Поскольку $CC_1$ — высота, имеем $CC_1 \perp AB$. Точка $C_1$ лежит на стороне $AB$, поэтому $CC_1 \perp AC_1$ и $\angle AC_1C = 90^\circ$.$$CC_1 \perp AC_1 \Rightarrow \angle AC_1C=90^\circ$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Через точку $O$ пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD$ проведена прямая, пересекающая стороны $BC$ и $AD$ в точках $L$ и $N$ соответственно. Докажите, что отрезки $CL$ и $AN$ равны.
- 1
Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, точка $O$ является серединой отрезков $AC$ и $BD$.$$OA=OC,\quad OB=OD$$
- 2
Рассмотрим поворот на $180^\circ$ вокруг точки $O$. Так как $O$ — середина диагонали $AC$, точка $C$ переходит в точку $A$. Аналогично, точка $B$ переходит в точку $D$.
Ещё 2 қадам — толық шешімде
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $BB_1$ и $CC_1$. Докажите, что углы $BB_1C_1$ и $BCC_1$ равны.
- 1
Обозначим $\angle ABC=\beta$. Поскольку $CC_1$ является высотой, то $CC_1\perp AB$.$$CC_1 \perp AB$$
- 2
Угол между прямыми $BC$ и $AB$ равен $\beta$, поэтому угол между прямыми $BC$ и перпендикулярной к $AB$ прямой $CC_1$ равен дополнению угла $\beta$ до $90^\circ$.$$\angle BCC_1=90^\circ-\beta$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
В выпуклом четырёхугольнике $ABCD$ углы $ABD$ и $ACD$ равны. Докажите, что углы $DAC$ и $DBC$ также равны.
- 1
Рассмотрим окружность, проходящую через точки $A$, $B$ и $D$. Угол $ABD$ является вписанным углом этой окружности и опирается на хорду $AD$.
- 2
По условию $\angle ABD = \angle ACD$. Следовательно, угол $ACD$ также опирается на тот же отрезок $AD$ и равен вписанному углу $ABD$.
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ пересекаются в точках $K$ и $L$, причём точки $P$ и $Q$ лежат по одну сторону от прямой $KL$. Докажите, что прямые $PQ$ и $KL$ перпендикулярны.
- 1
Точки $K$ и $L$ принадлежат окружности с центром $P$, поэтому отрезки $PK$ и $PL$ являются радиусами этой окружности.$$PK = PL$$
- 2
Точки $K$ и $L$ также принадлежат окружности с центром $Q$, поэтому отрезки $QK$ и $QL$ являются радиусами этой окружности.$$QK = QL$$
Ещё 2 қадам — толық шешімде
Сторона $BC$ параллелограмма $ABCD$ вдвое больше стороны $CD$. Точка $K$ — середина стороны $BC$. Докажите, что $DK$ — биссектриса угла $ADC$.
- 1
Так как $K$ — середина стороны $BC$, имеем $BK = KC = \dfrac{BC}{2}$. По условию $BC = 2CD$, поэтому $KC = CD$.$$KC = \frac{BC}{2} = CD$$
- 2
Следовательно, треугольник $DCK$ равнобедренный с равными сторонами $KC$ и $CD$. Поэтому его углы при основании равны.$$\angle KDC = \angle DCK$$
Ещё 3 қадам — толық шешімде
Окружности с центрами в точках $P$ и $Q$ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в…
- 1
Пусть внутренняя общая касательная касается первой окружности в точке $A$, второй — в точке $B$, а отрезок $PQ$ пересекает касательную в точке $X$. Для внутренней общей касательной точка $X$ лежит между $P$ и $Q$.
- 2
Радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательной: $PA \perp AB$ и $QB \perp AB$. Поэтому треугольники $PAX$ и $QBX$ прямоугольные.
Ещё 3 қадам — толық шешімде