Решите уравнение. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку.
- 1
На предоставленном изображении видны только указания решить уравнение и выбрать корни на отрезке. Само уравнение и границы отрезка не отображаются.
- 2
Поэтому выполнить пункты а) и б), а также однозначно определить правильный развёрнутый ответ невозможно.
а) Решите уравнение $27^x - 4 \cdot 3^{x+2} + 3^{5-x} = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_7 4;\ \log_7 16]$.
- 1
Введём замену $t = 3^x$, тогда $t > 0$. Представим слагаемые уравнения через $t$:$$27^x = (3^x)^3 = t^3,\quad 3^{x+2} = 9t,\quad 3^{5-x} = \frac{243}{t}$$
- 2
Подставим выражения в исходное уравнение и умножим на $t > 0$:$$t^3 - 36t + \frac{243}{t} = 0 \quad\Longrightarrow\quad t^4 - 36t^2 + 243 = 0$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Решите уравнение $2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)-\sqrt{3}\cos 2x=\sin x+\sqrt{3}$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-2\pi; -\dfrac{\pi}{2}\right]$.
- 1
Раскроем синус суммы:$$2\sin\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=2\left(\sin x\cos\frac{\pi}{3}+\cos x\sin\frac{\pi}{3}\right)=\sin x+\sqrt{3}\cos x$$
- 2
Подставим это выражение в исходное уравнение и сократим $\sin x$:$$\sin x+\sqrt{3}\cos x-\sqrt{3}\cos 2x=\sin x+\sqrt{3}\quad\Longrightarrow\quad\cos x-\cos 2x=1$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
Решите уравнение $2\cos x-\sqrt{3}\sin^2x=2\cos^3x$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-\dfrac{7\pi}{2};-2\pi\right]$.
- 1
Перенесём правую часть уравнения в левую и сгруппируем слагаемые:$$2\cos x-2\cos^3x-\sqrt{3}\sin^2x=0$$
- 2
Вынесем общий множитель и применим формулу $1-\cos^2x=\sin^2x$:$$2\cos x(1-\cos^2x)-\sqrt{3}\sin^2x=0$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
а) Решите уравнение $2\cos^2 x + 3\sin(x + \pi) - 3 = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]$.
- 1
Преобразуем синус суммы и косинус в квадрате:$$\sin(x+\pi)=-\sin x,\quad \cos^2x=1-\sin^2x$$
- 2
Подставим эти выражения в исходное уравнение:$$2(1-\sin^2x)-3\sin x-3=0$$
Ещё 4 шага — в полном решении
а) Решите уравнение $\sqrt{3}\tg^2 x - 4\tg x + \sqrt{3} = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi;\frac{5\pi}{2}\right]$.
- 1
Выполним замену $t = \tg x$. Получим квадратное уравнение:$$\sqrt{3}t^2 - 4t + \sqrt{3} = 0$$
- 2
Найдём дискриминант:$$D = (-4)^2 - 4\cdot\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 16 - 12 = 4$$
Ещё 3 шага — в полном решении
Решите уравнение $8^x - 9 \cdot 2^{x+1} + 2^{5-x} = 0$. Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_5 2;\, \log_5 20]$.
- 1
Представим все степени через основание $2$: $8^x = 2^{3x}$, а $2^{5-x} = \dfrac{32}{2^x}$.
- 2
Введём замену $t = 2^x$. Так как $2^x > 0$, имеем $t > 0$. Уравнение принимает вид$$t^3 - 18t + \frac{32}{t} = 0$$
Ещё 5 шагов — в полном решении
а) Решите уравнение $8^x - 3 \cdot 2^{x+2} + 2^{5-x} = 0$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\log_4 5;\sqrt{3}]$.
- 1
Выполним замену $t = 2^x$, тогда $t > 0$. Имеем $8^x = 2^{3x} = t^3$, $2^{x+2} = 4t$, а $2^{5-x} = \dfrac{32}{t}$.$$t^3 - 12t + \frac{32}{t} = 0$$
- 2
Умножим уравнение на $t > 0$ и сгруппируем слагаемые.$$t^4 - 12t^2 + 32 = 0$$
Ещё 3 шага — в полном решении
а) Решите уравнение $16^{\cos x} + 16^{\cos(\pi - x)} = \dfrac{17}{4}$. б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi; \dfrac{5\pi}{2}\right]$.
- 1
Преобразуем косинус второго показателя:$$\cos(\pi-x)=-\cos x$$
- 2
Тогда исходное уравнение принимает вид:$$16^{\cos x}+16^{-\cos x}=\frac{17}{4}$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
Решите уравнение $2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)-2\sqrt{3}\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=0$. Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-6\pi; -\dfrac{9\pi}{2}\right]$.
- 1
Преобразуем косинус и раскроем синус разности:$$\cos\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x,\qquad \sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\dfrac{1}{2}\cos x$$
- 2
Подставим эти выражения в исходное уравнение и упростим:$$2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x-\dfrac{1}{2}\cos x\right)-2\sqrt{3}\sin x=0$$
Ещё 6 шагов — в полном решении
а) Решите уравнение $\dfrac{9^{\sin 2x}-3^{2\sqrt{2}\sin x}}{\sqrt{11\sin x}}=0$. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\dfrac{7\pi}{2};5\pi\right]$.
- 1
Для существования выражения необходимо, чтобы подкоренное выражение было положительным:$$11\sin x>0\quad\Longrightarrow\quad \sin x>0$$
- 2
При выполнении этого условия знаменатель не равен нулю, поэтому числитель должен быть равен нулю:$$9^{\sin 2x}-3^{2\sqrt{2}\sin x}=0$$
Ещё 7 шагов — в полном решении
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , . а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости…
- 1
Основание пирамиды — квадрат со стороной 8, поэтому его площадь равна$$S_{\text{осн}}=8^2=64$$
- 2
Центр правильной пирамиды равноудалён от всех вершин основания. Расстояние от центра квадрата до вершины равно половине диагонали квадрата:$$R=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$
Ещё 4 шага — в полном решении
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ с основанием $ABCD$ точка $O$ — центр основания пирамиды, точка $M$ — середина ребра $SC$, точка $K$ делит ребро $BC$ в отношении $BK:KC=3:1$, а $AB=2$…
- 1
Выберем систему координат: $O$ — начало координат, основание лежит в плоскости $z=0$, а ось $Oz$ направлена вдоль $SO$. Так как $AB=2$, можно взять $A(1,1,0)$, $B(-1,1,0)$, $C(-1,-1,0)$, $D(1,-1,0)$. Тогда $S(0,0,\sqrt{14})$.
- 2
Так как $M$ — середина $SC$, получаем $M\left(-\frac12,-\frac12,\frac{\sqrt{14}}2\right)$. Из условия $BK:KC=3:1$ следует, что $K$ находится на расстоянии $\frac34BC$ от точки $B$, поэтому $K\left(-1,-\frac12,0\right)$.
Ещё 7 шагов — в полном решении
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит параллелограмм $ABCD$. На рёбрах $A_1B_1$, $B_1C_1$ и $BC$ отмечены точки $M$, $K$ и $N$ соответственно, причём $B_1K:KC_1=1:2$. Четырёхугольник…
- 1
Обозначим $\overrightarrow{BC}=\mathbf{u}$, $\overrightarrow{BA}=\mathbf{v}$, а вертикальный вектор призмы — $\mathbf{w}$. Тогда $|\mathbf{w}|=2$. Так как $B_1K:KC_1=1:2$, имеем $\overrightarrow{BK}=\mathbf{w}+\frac13\mathbf{u}$.
- 2
Основаниями трапеции являются $MK$ и $AN$. Действительно, $\overrightarrow{MK}=\frac13(\mathbf{u}-2\mathbf{v})$. Пусть $N$ делит $BC$ в отношении $BN:NC=t:(1-t)$. Тогда $\overrightarrow{AN}=t\mathbf{u}-\mathbf{v}$.
Ещё 4 шага — в полном решении
В правильной шестиугольной пирамиде сторона основания равна 5, а боковое ребро равно 9. Точка лежит на ребре, а точка лежит на ребре. Известно, что. а) Докажите, что одна плоскость перпендикулярна…
- 1
Из условия известны только сторона основания правильной шестиугольной пирамиды и длина бокового ребра: 5 и 9.
- 2
Обозначения точек, рёбер, плоскостей и числовое условие между точками отсутствуют как в распознанном тексте, так и на предоставленном изображении.
Ещё 1 шаг — в полном решении
В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ через середину $M$ диагонали $AC_1$ проведена плоскость $\alpha$, перпендикулярная этой диагонали. $AB=5$, $BC=3$, $AA_1=4$. а) Докажите, что…
- 1
Введём прямоугольную систему координат: $A(0,0,0)$, ось $Ox$ направим вдоль $AB$, ось $Oy$ — вдоль $AD$, ось $Oz$ — вдоль $AA_1$. Тогда $B(5,0,0)$, $D(0,3,0)$, $A_1(0,0,4)$, $C_1(5,3,4)$.
- 2
Найдём координаты середины диагонали $AC_1$ и направляющий вектор этой диагонали:$$M\left(\frac{5}{2},\frac{3}{2},2\right),\quad \overrightarrow{AC_1}=(5,3,4)$$
Ещё 7 шагов — в полном решении
В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$. а) Докажите, что прямая…
- 1
Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $M$ — середина $AB$, а $N$ — середина $CD$, отрезок $MN$ является общей перпендикулярной к противоположным рёбрам $AB$ и $CD$ правильного тетраэдра. В частности, $MN \perp AB$ и $MN \perp CD$.$$MN \perp AB,\quad MN \perp CD$$
- 2
Поскольку плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$, любая прямая, лежащая в $\alpha$ и параллельная $AB$ или $CD$, перпендикулярна $MN$.
Ещё 5 шагов — в полном решении
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SD$ соответственно. а) Докажите, что прямая $MK$ параллельна плоскости $SBC$. б) Найдите высоту пирамиды, если…
- 1
Так как $M$ и $K$ — середины отрезков $AB$ и $SD$, то в векторной форме$$\overrightarrow{MK}=\frac12\left(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BS}\right)$$
- 2
В основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$, поэтому $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$. Следовательно,$$\overrightarrow{MK}=\frac12\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BS}\right)$$
Ещё 7 шагов — в полном решении
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$…
- 1
Спроектируем отрезок $AC_1$ на плоскость основания. Точка $C_1$ проектируется в точку $C$, а ось цилиндра — в центр основания $O$. Поэтому точка пересечения отрезка $AC_1$ с осью цилиндра проектируется в точку $O$, и точки $A$, $O$, $C$…
- 2
Так как $A$ и $C$ лежат на окружности основания, а прямая $AC$ проходит через её центр, отрезок $AC$ является диаметром окружности.
Ещё 5 шагов — в полном решении
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $SA$ равно $7$. На рёбрах $CD$ и $SC$ отмечены точки $N$ и $K$ соответственно, причём…
- 1
Поместим основание пирамиды в плоскость $z=0$, а его центр — в начало координат. Так как сторона основания равна $6$, можно взять координаты $A(3,3,0)$, $B(-3,3,0)$, $C(-3,-3,0)$, $D(3,-3,0)$. В правильной пирамиде вершина $S$ находится…$$S=(0,0,h)$$
- 2
Расстояние от центра основания до вершины квадрата равно $3\sqrt{2}$. Из прямоугольного треугольника с гипотенузой $SA=7$ получаем высоту пирамиды.$$h^2+(3\sqrt{2})^2=7^2,\quad h=\sqrt{31}$$
Ещё 6 шагов — в полном решении