Решение: Цилиндр и прямой угол
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B$, а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1$, причём $BB_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $AC_1$ пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол $ABC_1$ прямой.
б) Найдите объём цилиндра, если $AB = 7$, $BB_1 = 24$, $B_1C_1 = 10$.
Решение по шагам
7 шаговСпроектируем отрезок $AC_1$ на плоскость основания. Точка $C_1$ проектируется в точку $C$, а ось цилиндра — в центр основания $O$. Поэтому точка пересечения отрезка $AC_1$ с осью цилиндра проектируется в точку $O$, и точки $A$, $O$, $C$ лежат на одной прямой.
Так как $A$ и $C$ лежат на окружности основания, а прямая $AC$ проходит через её центр, отрезок $AC$ является диаметром окружности.
Угол $ABC$ прямой как вписанный угол, опирающийся на диаметр $AC$. Кроме того, $BB_1$ перпендикулярна плоскости основания, следовательно, $BB_1\perp BA$ и $BB_1\perp BC$.
Поскольку $BA$ перпендикулярна и $BC$, и $BB_1$, она перпендикулярна плоскости $BCC_1B_1$, содержащей прямую $BC_1$. Значит, $BA\perp BC_1$, то есть угол $ABC_1$ прямой.
В основании $B_1C_1=BC=10$, так как это равные хорды равных оснований цилиндра. В прямоугольном треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:
$$AC^2=AB^2+BC^2=7^2+10^2=149$$Поскольку $AC$ — диаметр основания, радиус цилиндра равен:
$$R=\frac{AC}{2},\qquad R^2=\frac{AC^2}{4}=\frac{149}{4}$$Высота цилиндра равна длине образующей $BB_1=24$. Поэтому объём цилиндра:
$$V=\pi R^2h=\pi\cdot\frac{149}{4}\cdot24=894\pi$$Угол $ABC_1$ прямой; объём цилиндра равен $894\pi$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не обосновывают, почему $AC$ является диаметром основания.
Путают хорду $B_1C_1$ с образующей и не используют равенство $B_1C_1=BC$.
Забывают, что радиус равен половине диаметра.
Используют высоту цилиндра не как длину образующей $BB_1$.