Решение: Высота правильной пирамиды
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SD$ соответственно. Докажите, что прямая $MK$ параллельна плоскости $SBC$. Найдите высоту пирамиды, если $AB=24$, а угол между прямой $MK$ и плоскостью основания пирамиды равен $30^\circ$.
Решение по шагам
6 шаговРасположим основание пирамиды в плоскости $z=0$, а центр квадрата $ABCD$ совместим с началом координат. Так как $AB=24$, можно взять координаты $A(-12,-12,0)$, $B(12,-12,0)$, $C(12,12,0)$, $D(-12,12,0)$, $S(0,0,h)$, где $h$ — высота пирамиды.
Найдём координаты середин рёбер $AB$ и $SD$: $M(0,-12,0)$, $K(-6,6,\frac h2)$.
Направляющий вектор прямой $MK$ равен $\overrightarrow{MK}=(-6,18,\frac h2)$. Векторы $\overrightarrow{SB}=(12,-12,-h)$ и $\overrightarrow{SC}=(12,12,-h)$ лежат в плоскости $SBC$.
Проверим, что направляющий вектор прямой $MK$ перпендикулярен нормали к плоскости $SBC$. Нормаль можно получить как векторное произведение: $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{SB}\times\overrightarrow{SC}=(24h,0,288)$. Тогда $\overrightarrow{MK}\cdot\overrightarrow{n}=(-6)\cdot24h+\frac h2\cdot288=0$. Следовательно, $MK\parallel (SBC)$.
Проекция вектора $\overrightarrow{MK}$ на плоскость основания имеет координаты $(-6,18,0)$, поэтому её длина равна $\sqrt{(-6)^2+18^2}=6\sqrt{10}$. Вертикальная составляющая вектора имеет длину $\frac h2$.
По условию угол между прямой $MK$ и плоскостью основания равен $30^\circ$. Поэтому $\tan30^\circ=\dfrac{h/2}{6\sqrt{10}}$. Подставляя $\tan30^\circ=\frac1{\sqrt3}$, получаем $\frac1{\sqrt3}=\frac{h}{12\sqrt{10}}$, откуда $h=\frac{12\sqrt{10}}{\sqrt3}=4\sqrt{30}$.
Высота пирамиды равна $4\sqrt{30}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно находят координаты середины ребра $SD$.
Используют длину всего вектора $\overrightarrow{MK}$ вместо длины его проекции на плоскость основания.
Путают угол между прямой и плоскостью с углом между прямой и нормалью к плоскости.