Решение: Сечение пирамиды плоскостью
Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ и пересекает ребро $SA$ в точке $K$. Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является правильным треугольником площадью $4\sqrt{3}$. а) Докажите, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC$. б) В каком отношении точка $K$ делит ребро $SA$, считая от точки $S$, если объём пирамиды равен $18\sqrt{3}$?
Решение по шагам
9 шаговПусть сторона основания равна $a$, а высота пирамиды равна $h$. Так как сечение является правильным треугольником площадью $4\sqrt{3}$, его сторона $l$ определяется равенством
$$\frac{\sqrt{3}}{4}l^2=4\sqrt{3},\qquad l=4$$Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания, поэтому сечение является вертикальным треугольником. Его сторона в основании лежит на следе плоскости $\alpha$ в основании пирамиды. В равностороннем треугольнике высота проведена к середине основания.
Проекция вершины $K$ на основание лежит на диагонали $AC$, поскольку $K\in SA$, а $SO\perp ABCD$. Поэтому середина стороны сечения в основании лежит на диагонали $AC$. Следовательно, след плоскости $\alpha$ в основании перпендикулярен $AC$. Так как плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания и содержит прямую, перпендикулярную $AC$, получаем $\alpha\perp AC$.
Обозначим $q=\dfrac{KA}{SA}$. Из подобия треугольников, а также из положения следа сечения в квадрате, длина стороны сечения в основании равна $\sqrt{2}aq$. Она равна стороне равностороннего треугольника:
$$\sqrt{2}aq=4$$Высота равностороннего треугольника равна $\dfrac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$. Эта высота совпадает с расстоянием от $K$ до основания, то есть с $hq$. Поэтому
$$hq=2\sqrt{3}$$Из условия об объёме пирамиды:
$$\frac{a^2h}{3}=18\sqrt{3},\qquad a^2h=54\sqrt{3}$$Из первых двух равенств выразим $a$ и $h$:
$$a=\frac{2\sqrt{2}}{q},\qquad h=\frac{2\sqrt{3}}{q}$$Подставим эти выражения в формулу для объёма:
$$a^2h=\frac{8}{q^2}\cdot\frac{2\sqrt{3}}{q}=\frac{16\sqrt{3}}{q^3}=54\sqrt{3}$$Отсюда $q^3=\dfrac{8}{27}$, поэтому $q=\dfrac{2}{3}$. Следовательно, $\dfrac{KA}{SA}=\dfrac{2}{3}$, а $\dfrac{SK}{SA}=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$.
а) $\alpha\perp AC$. б) $SK:KA=1:2$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Путать высоту сечения с высотой всей пирамиды.
Использовать площадь основания вместо площади сечения.
Неверно определить, от какой точки отсчитывается отношение.
Записать отношение $KA:SK=1:2$ вместо требуемого $SK:KA=1:2$.