Решение: Сечение правильного тетраэдра

Рассмотрим треугольник $ABC$. Так как $M$ — середина $AB$, а $N$ — середина $CD$, отрезок $MN$ является общей перпендикулярной к противоположным рёбрам $AB$ и $CD$ правильного тетраэдра. В частности, $MN \perp AB$ и $MN \perp CD$.

Поскольку плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$, любая прямая, лежащая в $\alpha$ и параллельная $AB$ или $CD$, перпендикулярна $MN$.

В грани $ABC$ через точку $K$ проведём прямую $KL \parallel AB$, где $L \in AC$. В треугольнике $ABC$ получаем $\dfrac{CK}{CB}=\dfrac{CL}{CA}=\dfrac{3}{4}$, поэтому $KL=\dfrac{3}{4}AB=3$.

В грани $BCD$ через точку $K$ проведём прямую $KP \parallel CD$, где $P \in BD$. Тогда $\dfrac{BK}{BC}=\dfrac{BP}{BD}=\dfrac{1}{4}$, поэтому $KP=\dfrac{1}{4}CD=1$.

На гранях $ACD$ и $ABD$ сечение соединяет точки $L$ и $P$ отрезком, параллельным $CD$, и точки $P$ и $L$ отрезком, параллельным $AB$. Следовательно, сечение является параллелограммом $KLPQ$, стороны которого параллельны рёбрам $AB$ и $CD$.

В правильном тетраэдре противоположные рёбра $AB$ и $CD$ перпендикулярны, поэтому сечение является прямоугольником со сторонами $3$ и $1$.