Решение: Перпендикулярность и расстояние в кубе
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $AD$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $B_1N$ и $CM$ перпендикулярны.
б) Плоскость $\alpha$ проходит через точки $N$ и $B_1$ параллельно прямой $CM$. Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$, если $B_1N=6$.
Решение по шагам
9 шаговПусть ребро куба равно $a$. Введём координаты: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $A_1(0,0,a)$. Тогда $C(a,a,0)$ и $B_1(a,0,a)$.
Так как $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $AD$, имеем $M\left(\dfrac{a}{2},0,0\right)$ и $N\left(0,\dfrac{a}{2},0\right)$.
Направляющие векторы прямых $B_1N$ и $CM$ можно взять в виде $\overrightarrow{B_1N}=\left(-a,\dfrac{a}{2},-a\right)$ и $\overrightarrow{CM}=\left(-\dfrac{a}{2},-a,0\right)$.
Их скалярное произведение равно нулю, следовательно, прямые перпендикулярны.
$$\overrightarrow{B_1N}\cdot\overrightarrow{CM}=(-a)\left(-\frac{a}{2}\right)+\frac{a}{2}(-a)+(-a)\cdot0=0$$Плоскость $\alpha$ содержит векторы $\overrightarrow{NB_1}=\left(a,-\dfrac{a}{2},a\right)$ и направление прямой $CM$, например $\overrightarrow{CM}=\left(-\dfrac{a}{2},-a,0\right)$. Нормаль к плоскости пропорциональна их векторному произведению.
$$\overrightarrow{NB_1}\times\overrightarrow{CM}=\frac{a^2}{4}(4,-2,-5)$$Уравнение плоскости $\alpha$, проходящей через точку $N\left(0,\dfrac{a}{2},0\right)$, имеет вид:
$$4x-2y-5z=-a$$Подставим координаты точки $C(a,a,0)$ в левую часть уравнения плоскости. Расстояние от точки до плоскости равно:
$$d=\frac{|4a-2a-(-a)|}{\sqrt{4^2+(-2)^2+(-5)^2}}=\frac{3a}{3\sqrt{5}}=\frac{a}{\sqrt{5}}$$Длина диагонали $B_1N$ выражается через ребро куба формулой:
$$B_1N=\sqrt{a^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2+a^2}=\frac{3a}{2}$$Из условия $B_1N=6$ получаем $a=4$. Поэтому искомое расстояние равно:
$$d=\frac{4}{\sqrt{5}}=\frac{4\sqrt{5}}{5}$$а) $B_1N\perp CM$; б) расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$ равно $\dfrac{4\sqrt{5}}{5}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определить координаты середин рёбер $M$ и $N$.
При вычислении скалярного произведения забыть один из знаков координат.
Использовать в формуле расстояния до плоскости ненормированный нормальный вектор без деления на его длину.
Ошибочно принять $B_1N$ за диагональ грани или пространственную диагональ куба.