Решение: Призма и параллельность плоскости
В основании прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ лежит равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $AD=3$ и $BC=2$. Точка $M$ делит ребро $A_1D_1$ в отношении $A_1M:MD_1=1:2$, а точка $K$ — середина ребра $DD_1$.
а) Докажите, что плоскость $MKC$ параллельна прямой $BD$. б) Найдите тангенс угла между плоскостью $MKC$ и плоскостью основания призмы, если $\angle MKC=90^\circ$, $\angle ADC=60^\circ$.
Решение по шагам
9 шаговВведём координаты: $D=(0,0,0)$, $A=(3,0,0)$, а основание призмы расположим в плоскости $z=0$. Так как трапеция равнобедренная, основания параллельны, а $\angle ADC=60^\circ$, получаем $C=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2},0\right)$ и $B=\left(\frac52,\frac{\sqrt3}{2},0\right)$.
$$AD=3,\quad BC=2$$Пусть высота призмы равна $h$. Тогда $A_1=(3,0,h)$, $D_1=(0,0,h)$. Из отношения $A_1M:MD_1=1:2$ следует $M=(2,0,h)$, а поскольку $K$ — середина $DD_1$, имеем $K=\left(0,0,\frac h2\right)$.
$$M=(2,0,h),\quad K=\left(0,0,\frac h2\right)$$Рассмотрим направляющие векторы плоскости $MKC$ и вектор прямой $BD$.
$$\overrightarrow{KM}=\left(2,0,\frac h2\right),\quad \overrightarrow{KC}=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2},-\frac h2\right),\quad \overrightarrow{BD}=\left(-\frac52,-\frac{\sqrt3}{2},0\right)$$Вектор $\overrightarrow{BD}$ выражается через два направляющих вектора плоскости $MKC$:
$$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{KM}-\overrightarrow{KC}$$Следовательно, направление прямой $BD$ параллельно плоскости $MKC$, то есть $BD\parallel(MKC)$.
Используем условие $\angle MKC=90^\circ$. Скалярное произведение векторов $\overrightarrow{KM}$ и $\overrightarrow{KC}$ равно нулю.
$$\overrightarrow{KM}\cdot\overrightarrow{KC}=2\cdot\frac12+0\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac h2\cdot\left(-\frac h2\right)=1-\frac{h^2}{4}=0$$Так как $h>0$, получаем высоту призмы $h=2$.
При $h=2$ можно взять два направляющих вектора плоскости $MKC$: $\overrightarrow{KM}=(2,0,1)$ и $\overrightarrow{KC}=\left(\frac12,\frac{\sqrt3}{2},-1\right)$. Их векторное произведение является нормалью к плоскости $MKC$.
$$\vec n=\overrightarrow{KM}\times\overrightarrow{KC}=\left(-\frac{\sqrt3}{2},\frac52,\sqrt3\right)$$Угол между плоскостью $MKC$ и основанием равен углу между нормалью к плоскости $MKC$ и вертикальным направлением, дополненному до $90^\circ$. Поэтому тангенс угла между плоскостями равен отношению длины горизонтальной составляющей нормали к модулю её вертикальной составляющей.
$$\tan\alpha=\frac{\sqrt{n_x^2+n_y^2}}{|n_z|}=\frac{\sqrt{\frac34+\frac{25}{4}}}{\sqrt3}=\frac{\sqrt7}{\sqrt3}=\sqrt{\frac73}$$а) $BD\parallel(MKC)$. б) $\tan\alpha=\sqrt{\frac73}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют координаты точки $M$ по отношению $A_1M:MD_1=1:2$.
Доказывают параллельность прямой и плоскости только по отсутствию общих точек, не показывая параллельность направляющего вектора плоскости.
Используют угол между нормалью к плоскости и основанием вместо угла между самими плоскостями.
Забывают выбрать положительное значение высоты призмы $h=2$.