Решение: Сечение правильной пирамиды
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известно, что $AB = 1$. Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D$.
б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребро $SC$, считая от вершины $S$, если площадь сечения равна $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$?
Решение по шагам
10 шаговОснование правильной четырёхугольной пирамиды является квадратом $ABCD$, а точка $O$ — его центр. Введём координаты:
$$O(0,0,0),\quad B\left(-\frac12,\frac12,0\right),\quad D\left(\frac12,-\frac12,0\right),\quad C\left(-\frac12,-\frac12,0\right),\quad S(0,0,h)$$Направляющий вектор ребра $SC$ равен $\overrightarrow{SC}=\left(-\dfrac12,-\dfrac12,-h\right)$. Направляющий вектор прямой $BD$ равен $\overrightarrow{BD}=(1,-1,0)$.
$$\overrightarrow{SC}\cdot\overrightarrow{BD}=\left(-\frac12\right)\cdot1+\left(-\frac12\right)\cdot(-1)+(-h)\cdot0=0$$Следовательно, $BD\perp SC$. Плоскость $\alpha$ проходит через точку $O$, а прямая $BD$ проходит через $O$ и перпендикулярна $SC$. Поэтому прямая $BD$ целиком лежит в плоскости, проходящей через $O$ перпендикулярно $SC$. Значит, плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D$.
Обозначим через $P$ точку пересечения плоскости $\alpha$ с ребром $SC$ и положим $\lambda=\dfrac{SP}{SC}$. Тогда координаты точки $P$ имеют вид:
$$P=\left(-\frac{\lambda}{2},-\frac{\lambda}{2},h(1-\lambda)\right)$$Так как $P\in\alpha$, вектор $\overrightarrow{OP}$ перпендикулярен $\overrightarrow{SC}$.
$$\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{SC}=\frac{\lambda}{2}-h^2(1-\lambda)=0$$Отсюда получаем связь между $h$ и $\lambda$:
$$h^2(1-\lambda)=\frac{\lambda}{2}$$Площадь сечения равна площади треугольника $BDP$. Используя векторы $\overrightarrow{BD}=(1,-1,0)$ и $\overrightarrow{BP}=\left(\dfrac{1-\lambda}{2},-\dfrac{1+\lambda}{2},h(1-\lambda)\right)$, получаем:
$$[BDP]=\frac12\left|\overrightarrow{BD}\times\overrightarrow{BP}\right|=\frac12\sqrt{2h^2(1-\lambda)^2+\lambda^2}$$Подставим равенство $h^2(1-\lambda)=\dfrac{\lambda}{2}$:
$$[BDP]=\frac12\sqrt{\lambda(1-\lambda)+\lambda^2}=\frac{\sqrt{\lambda}}{2}$$По условию площадь сечения равна $\dfrac{\sqrt2}{3}$, поэтому:
$$\frac{\sqrt{\lambda}}{2}=\frac{\sqrt2}{3},\qquad \lambda=\frac89$$Так как $\lambda=\dfrac{SP}{SC}$, имеем $\dfrac{SP}{SC}=\dfrac89$, а $\dfrac{PC}{SC}=1-\dfrac89=\dfrac19$. Следовательно, $SP:PC=8:1$.
Плоскость $\alpha$ проходит через $B$ и $D$; она делит ребро $SC$ в отношении $SP:PC=8:1$, считая от вершины $S$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не доказать, что прямая $BD$ перпендикулярна ребру $SC$.
Перепутать отношение $SP:PC$ со значением $\dfrac{SP}{SC}$.
Использовать площадь треугольника $SBD$ вместо площади сечения $PBD$.
Потерять множитель $\dfrac12$ при вычислении площади треугольника.