Сечение правильной пирамиды
В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ известно, что $AB = 1$. Через точку $O$ пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру $SC$ провели плоскость $\alpha$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершины $B$ и $D$.
б) В каком отношении плоскость $\alpha$ делит ребро $SC$, считая от вершины $S$, если площадь сечения равна $\dfrac{\sqrt{2}}{3}$?
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В правильной четырёхугольной пирамиде известно, что Через точку пересечения диагоналей основания перпендикулярно ребру провели плоскость а) Докажите, что плоскость проходит через вершины и б) В каком отношении плоскость делит ребро считая от вершины если площадь сечения равна | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Какие свойства имеют диагонали квадрата $ABCD$ и как можно доказать, что прямая $BD$ перпендикулярна ребру $SC$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Введя координаты с центром основания в точке $O$, можно положить $B\left(-\dfrac12,\dfrac12,0\right)$, $D\left(\dfrac12,-\dfrac12,0\right)$, $C\left(-\dfrac12,-\dfrac12,0\right)$, $S(0,0,h)$. Условие принадлежности точки плоскости $\alpha$ выражается через скалярное произведение с направляющим вектором $\overrightarrow{SC}$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Если $P=\alpha\cap SC$ и $\lambda=\dfrac{SP}{SC}$, то из условия плоскости следует $h^2(1-\lambda)=\dfrac{\lambda}{2}$. Для площади треугольника $BDP$ получается $[BDP]=\dfrac{\sqrt{\lambda}}{2}$. Приравняйте это выражение к $\dfrac{\sqrt2}{3}$.