Расстояние до плоскости пирамиды
В пирамиде $ABCD$ рёбра $DA$, $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB = BC = AC = 6\sqrt{2}$. На рёбрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $DM:MA = DN:NC = 1:2$. Найдите расстояние от точки $D$ до плоскости $MNB$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В пирамиде рёбра , и попарно перпендикулярны, а . а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём . Найдите расстояние от точки до плоскости . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Рассмотрите прямоугольные треугольники $ADB$, $BDC$ и $ADC$ и выразите длины рёбер $DA$, $DB$ и $DC$ через данные рёбра основания.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Введя $DA = DB = DC = x$, получите $AB^2 = BC^2 = AC^2 = 2x^2$. Для пункта б) удобно выбрать прямоугольную систему координат с началом в точке $D$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Можно взять $D=(0,0,0)$, $A=(6,0,0)$, $B=(0,6,0)$, $C=(0,0,6)$. Тогда $M=(2,0,0)$ и $N=(0,0,2)$, а уравнение плоскости $MNB$ имеет вид $3x+y+3z=6$.