Сечение параллелепипеда ромбом

ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 15 · Стереометрия

ВысокаяФИПИ8A0B46Развёрнутое решение≈ 15 минут

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1 = 10$, $AB = 12$.

Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить

Дайте развернутый ответ.

Сечением прямоугольного параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью $α$ , содержащей прямую $B D_{1}$ и параллельной прямой $A C$ , является ромб.

а) Докажите, что грань $A B C D$ $—$ квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями $α$ и $B C C_{1}$ , если $A A_{1} = 10$ , $A B = 12$ .

Ответ

Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.

Открыть разбор

3 уровня: от лёгкого толчка до почти готового решения. Следующий открывается, когда прочитан предыдущий, — чтобы не перепрыгнуть сразу к ответу.

1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3

Рассмотрите сечение как параллелограмм: одна его диагональ лежит на прямой $BD_1$, а другая параллельна $AC$.

2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3

Для ромба диагонали перпендикулярны. Вычислите скалярное произведение направляющих векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD_1}$.

3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3

Введя координаты $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,b,0)$, $D(0,b,0)$, $D_1(0,b,h)$, получите $\overrightarrow{AC}=(a,b,0)$ и $\overrightarrow{BD_1}=(-a,b,h)$. Затем найдите угол между нормалью к $\alpha$ и нормалью к плоскости $BCC_1$.

Всё равно не складывается?Полное решение с обоснованием каждого шага — на отдельной странице.

Открыть решение

ПредыдущаяУгол между плоскостями пирамидыСледующаяРасстояние до диагонали цилиндра

Задание 15 ЕГЭ, математика, профиль