Решение: Сечение параллелепипеда ромбом
Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.
а) Докажите, что грань $ABCD$ — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1 = 10$, $AB = 12$.
Решение по шагам
8 шаговОбозначим $AB=a$, $BC=b$, $AA_1=h$. Введём координаты: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,b,0)$, $D(0,b,0)$, $D_1(0,b,h)$.
$$a=AB,\quad b=BC,\quad h=AA_1$$В сечении получается параллелограмм. Его диагонали направлены вдоль прямых $AC$ и $BD_1$. Так как параллелограмм является ромбом, его диагонали перпендикулярны.
$$\overrightarrow{AC}=(a,b,0),\quad \overrightarrow{BD_1}=(-a,b,h)$$Скалярное произведение направляющих векторов диагоналей равно нулю:
$$\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BD_1}=-a^2+b^2=0$$Так как $a>0$ и $b>0$, получаем $a=b$. В прямоугольнике $ABCD$ соседние стороны равны, следовательно, грань $ABCD$ является квадратом.
$$AB=BC=12$$Найдём угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$. Нормаль к плоскости $\alpha$ можно получить как векторное произведение направляющих векторов $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD_1}$:
$$\vec n_\alpha=\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{BD_1}=(bh,-ah,2ab)$$Плоскость $BCC_1$ имеет уравнение $x=a$, поэтому её нормаль можно взять в виде $\vec n_\beta=(1,0,0)$. При $a=b=12$ и $h=10$:
$$\cos\varphi=\frac{|\vec n_\alpha\cdot\vec n_\beta|}{|\vec n_\alpha||\vec n_\beta|}=\frac{bh}{\sqrt{b^2h^2+a^2h^2+4a^2b^2}}=\frac{120}{\sqrt{12^2\cdot10^2+12^2\cdot10^2+4\cdot12^4}}$$После упрощения получаем значение косинуса угла между плоскостями.
$$\cos\varphi=\frac{5}{\sqrt{194}}$$Следовательно, искомый угол равен:
$$\varphi=\arccos\frac{5}{\sqrt{194}}\approx68{,}9^\circ$$а) $ABCD$ — квадрат; б) $\varphi=\arccos\dfrac{5}{\sqrt{194}}\approx68{,}9^\circ$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют условие равенства диагоналей вместо их перпендикулярности для ромба.
Забывают, что $ABCD$ является прямоугольником, поэтому равенство соседних сторон означает, что это квадрат.
Находят угол между нормалями без учёта абсолютного значения скалярного произведения.
Берут угол между плоскостями, дополнительный к искомому острому углу.