Решение: Сечение треугольной пирамиды
В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит треугольник $ABC$ со стороной, равной $5$. Боковое ребро пирамиды равно $9$. На ребре $AD$ отмечена точка $T$ так, что $AT:TD=1:2$. Через точку $T$ параллельно прямым $AC$ и $BD$ проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
Решение по шагам
8 шаговТак как $AT:TD=1:2$, точка $T$ делит ребро $AD$ так, что $AT=\dfrac{1}{3}AD$.
Пусть секущая плоскость пересекает рёбра $AB$, $BC$ и $CD$ в точках $E$, $G$ и $F$ соответственно. В грани $ABD$ через $T$ проведена прямая, параллельная $BD$, поэтому по теореме о пропорциональных отрезках $AE:EB=AT:TD=1:2$. Следовательно, $AE=\dfrac{1}{3}AB$.
В грани $ACD$ через $T$ проведена прямая, параллельная $AC$, поэтому $DF:FC=DT:TA=2:1$, и $CF=\dfrac{1}{3}CD$. В треугольнике $BCD$ отрезок $FG$ параллелен $BD$, поэтому $CG:GB=CF:CD=1:3$, а в результате $CG=\dfrac{2}{3}BC$.
Четырёхугольник $ETFG$ является параллелограммом: $ET\parallel FG\parallel BD$, а $TF\parallel EG\parallel AC$.
Докажем перпендикулярность $AC$ и $BD$. Пусть $O$ — центр равностороннего треугольника $ABC$. В правильной треугольной пирамиде вершина $D$ находится на перпендикуляре к основанию через точку $O$, поэтому проекция вектора $\overrightarrow{BD}$ на основание совпадает с $\overrightarrow{BO}$. В равностороннем треугольнике медиана $BO$ перпендикулярна стороне $AC$. Кроме того, высота пирамиды перпендикулярна плоскости основания. Значит, $BD\perp AC$.
У параллелограмма $ETFG$ есть прямой угол, так как его стороны параллельны взаимно перпендикулярным прямым $AC$ и $BD$. Следовательно, сечение является прямоугольником.
Его стороны равны $TF=\dfrac{2}{3}AC=\dfrac{2}{3}\cdot 5=\dfrac{10}{3}$ и $ET=\dfrac{1}{3}BD=\dfrac{1}{3}\cdot 9=3$.
Площадь сечения равна произведению длин его сторон: $S=TF\cdot ET=\dfrac{10}{3}\cdot 3=10$.
Сечение является прямоугольником; его площадь равна $10$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не обосновывают, что сечение является именно параллелограммом.
Неверно определяют доли отрезков на рёбрах после проведения параллельных прямых.
Считают стороны сечения равными $AC$ и $BD$, не учитывая коэффициенты деления $\dfrac{2}{3}$ и $\dfrac{1}{3}$.
Утверждают, что $AC\perp BD$, не приводя геометрического обоснования.