Сечение треугольной пирамиды
В основании правильной треугольной пирамиды $ABCD$ лежит треугольник $ABC$ со стороной, равной $5$. Боковое ребро пирамиды равно $9$. На ребре $AD$ отмечена точка $T$ так, что $AT:TD=1:2$. Через точку $T$ параллельно прямым $AC$ и $BD$ проведена плоскость.
а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником.
б) Найдите площадь сечения.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В основании правильной треугольной пирамиды лежит треугольник со стороной, равной 5. Боковое ребро пирамиды равно 9. На ребре AD отмечена точка так, что . Через точку Т параллельно прямым и проведена плоскость. а) Докажите, что сечение пирамиды указанной плоскостью является прямоугольником. б) Найдите площадь сечения. | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Определите точки пересечения секущей плоскости с рёбрами пирамиды и используйте параллельность её направляющих прямым $AC$ и $BD$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Точки сечения на рёбрах $AB$, $BC$ и $CD$ делят соответствующие рёбра в тех же отношениях. Полученный четырёхугольник имеет стороны, параллельные $AC$ и $BD$. Докажите, что $AC \perp BD$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Сечение — параллелограмм со сторонами $\dfrac{2}{3}AC=\dfrac{10}{3}$ и $\dfrac{1}{3}BD=3$. Так как $AC \perp BD$, это прямоугольник, а его площадь равна $\dfrac{10}{3}\cdot 3=10$.