Сечение правильной пирамиды
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно, а точки $N$ и $L$ отмечены на рёбрах $SA$ и $BC$ соответственно так, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются, а $AN = 3NS$.
а) Докажите, что прямые $MN$, $KL$ и $SB$ пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение $BL : LC$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В правильной треугольной пирамиде с основанием точки и — середины рёбер и соответственно, а точки и отмечены на рёбрах и соответственно так, что отрезки и пересекаются, а а) Докажите, что прямые и пересекаются в одной точке. б) Найдите отношение | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Введём аффинные координаты относительно вершин $S$, $A$, $B$, $C$ и выразим координаты всех заданных точек.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Используйте условие пересечения отрезков $MK$ и $NL$: четыре точки $M$, $K$, $N$, $L$ должны лежать в одной плоскости. Для этого приравняйте нулю определитель координат направляющих векторов.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получается $BL:LC=3:1$. После этого проверьте, что точка пересечения прямых $MN$ и $KL$ лежит на прямой $SB$.