Угол между гранями пирамиды
Основанием четырёхугольной пирамиды $SABCD$ является прямоугольник $ABCD$, причём $AB=2\sqrt{2}$, $BC=4$. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин $A$ и $C$ опущены перпендикуляры $AP$ и $CQ$ на ребро $SB$.
а) Докажите, что $P$ — середина отрезка $BQ$. б) Найдите угол между гранями $SBA$ и $SBC$, если $SD=4$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Основанием четырёхугольной пирамиды является прямоугольник , причём , . Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин и опущены перпендикуляры и на ребро . а) Докажите, что середина отрезка . б) Найдите угол между гранями и , если . | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Рассмотрите проекции точек $A$ и $C$ на прямую $SB$ и используйте координаты или векторные произведения.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Удобно принять $B$ за начало координат, направить оси вдоль $BA$ и $BC$, а третью ось — вдоль высоты пирамиды.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Можно взять $B=(0,0,0)$, $A=(2\sqrt{2},0,0)$, $C=(0,4,0)$, $D=(2\sqrt{2},4,0)$, $S=(\sqrt{2},2,\sqrt{10})$. Тогда параметры проекций на $SB$ равны $t_P=\frac14$ и $t_Q=\frac12$, а косинус острого угла между гранями равен $\frac1{\sqrt{21}}$.