Сечение правильной пирамиды
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ равны $4$. Точка $O$ — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой $SA$ и проходящая через точку $O$, пересекает рёбра $SC$ и $SD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Точка $N$ делит ребро $SD$ в отношении $SN:ND=1:3$.
а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $SC$.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMN$ пересекает грань $SBC$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды с основанием равны 4. Точка — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой и проходящая через точку пересекает рёбра и в точках и соответственно. Точка делит ребро в отношении а) Докажите, что точка — середина ребра б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость пересекает грань | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Выберите координаты с началом в точке $O$ и используйте симметрию квадрата $ABCD$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
При $A(2,2,0)$, $B(-2,2,0)$, $C(-2,-2,0)$, $D(2,-2,0)$ вершина $S$ имеет координаты $(0,0,2\sqrt{2})$. Используйте условие параллельности плоскости $OMN$ и прямой $SA$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Получите уравнение плоскости $OMN$: $x-2y-\dfrac{z}{\sqrt{2}}=0$. На ребре $SC$ оно даёт параметр $t=\dfrac12$, а на грани $SBC$ вторая точка пересечения лежит на $BC$ и имеет координаты $(-2,-1,0)$.