Решение: Сечение правильной пирамиды
Все рёбра правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ равны $4$. Точка $O$ — центр основания пирамиды. Плоскость, параллельная прямой $SA$ и проходящая через точку $O$, пересекает рёбра $SC$ и $SD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Точка $N$ делит ребро $SD$ в отношении $SN:ND=1:3$.
а) Докажите, что точка $M$ — середина ребра $SC$.
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость $OMN$ пересекает грань $SBC$.
Решение по шагам
9 шаговВведём координаты: $O(0,0,0)$, $A(2,2,0)$, $B(-2,2,0)$, $C(-2,-2,0)$, $D(2,-2,0)$. Так как все рёбра пирамиды равны $4$, для вершины $S(0,0,h)$ имеем $SA=4$.
$$SA^2=2^2+2^2+h^2=16$$Отсюда $h=2\sqrt{2}$, поэтому $S(0,0,2\sqrt{2})$.
Так как $SN:ND=1:3$, точка $N$ делит отрезок $SD$ в четверти отрезка, считая от $S$.
$$N=S+\frac14(D-S)=\left(\frac12,-\frac12,\frac{3\sqrt2}{2}\right)$$Плоскость $OMN$ проходит через начало координат и параллельна прямой $SA$. Направляющий вектор этой прямой можно взять равным $\overrightarrow{SA}=(2,2,-2\sqrt2)$. Вектор $\overrightarrow{ON}$ равен $\left(\frac12,-\frac12,\frac{3\sqrt2}{2}\right)$. Нормальный вектор плоскости $OMN$ пропорционален их векторному произведению, поэтому уравнение плоскости имеет вид
$$x-2y-\frac{z}{\sqrt2}=0$$Пусть $M$ лежит на ребре $SC$ и имеет вид $M=S+t(C-S)$. Тогда $M=(-2t,-2t,2\sqrt2(1-t))$. Подставляя координаты в уравнение плоскости, получаем
$$-2t+4t-2(1-t)=0$$Следовательно, $4t-2=0$, откуда $t=\frac12$. Значит, $SM=\frac12SC$ и $MC=\frac12SC$, поэтому $M$ — середина ребра $SC$.
Найдём вторую точку пересечения плоскости $OMN$ с гранью $SBC$. На ребре $BC$ точка имеет координаты $P=(-2,y,0)$. Подстановка в уравнение плоскости даёт
$$-2-2y=0$$Отсюда $y=-1$, поэтому $P=(-2,-1,0)$. Искомый отрезок пересечения грани $SBC$ — это отрезок $MP$.
Координаты точки $M$ при $t=\frac12$: $M=(-1,-1,\sqrt2)$. Тогда
$$MP=\sqrt{(-2+1)^2+(-1+1)^2+(0-\sqrt2)^2}=\sqrt3$$а) Точка $M$ — середина ребра $SC$. б) Длина отрезка, по которому плоскость $OMN$ пересекает грань $SBC$, равна $\sqrt3$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно вычисляют высоту правильной пирамиды и получают координату вершины $S$.
Используют отношение $SN:ND=1:3$ как параметр $\frac34$ вместо $\frac14$ при движении от точки $S$.
Не учитывают, что вторую точку пересечения с гранью $SBC$ нужно искать на ребре $BC$, а не на ребре $SB$.
Вычисляют длину отрезка по двум точкам с ошибкой в координате $z$ точки $M$.