Решение: Расстояние до диагонали цилиндра
В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$, $B$ и $C$, а на окружности другого основания — точка $C_1$, причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB = 45^\circ$, $AB = 2\sqrt{3}$, $CC_1 = 2\sqrt{6}$.
Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $60^\circ$, и найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$.
Решение по шагам
5 шаговТак как $AC$ — диаметр основания, угол $ABC$, опирающийся на диаметр, прямой. В треугольнике $ABC$ угол $ACB=45^\circ$, поэтому угол $BAC$ также равен $45^\circ$. Следовательно, треугольник $ABC$ — равнобедренный прямоугольный, и $BC=AB=2\sqrt{3}$.
$$\angle ABC=90^\circ,\quad BC=AB=2\sqrt{3}$$Введём прямоугольную систему координат: $C=(0,0,0)$, $A=(2\sqrt{6},0,0)$, $B=(\sqrt{6},\sqrt{6},0)$, $C_1=(0,0,2\sqrt{6})$. Последняя координата точки $C_1$ равна высоте цилиндра.
$$C=(0,0,0),\quad A=(2\sqrt{6},0,0),\quad B=(\sqrt{6},\sqrt{6},0),\quad C_1=(0,0,2\sqrt{6})$$Направляющие векторы прямых $AC_1$ и $BC$ можно взять в виде $\overrightarrow{AC_1}=(-2\sqrt{6},0,2\sqrt{6})$ и $\overrightarrow{BC}=(-\sqrt{6},-\sqrt{6},0)$. Их скалярное произведение равно $12$, а длины векторов равны $4\sqrt{3}$ и $2\sqrt{3}$. Поэтому косинус угла между прямыми равен $\frac{12}{(4\sqrt{3})(2\sqrt{3})}=\frac12$, откуда угол равен $60^\circ$.
$$\cos\varphi=\frac{|\overrightarrow{AC_1}\cdot\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{AC_1}|\,|\overrightarrow{BC}|}=\frac{12}{4\sqrt{3}\cdot2\sqrt{3}}=\frac12,\quad \varphi=60^\circ$$Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $AC_1$ используем формулу через векторное произведение. Вектор $\overrightarrow{AB}=(-\sqrt{6},\sqrt{6},0)$, а $\overrightarrow{AC_1}=(-2\sqrt{6},0,2\sqrt{6})$. Модуль их векторного произведения равен $12\sqrt{3}$, при этом $|\overrightarrow{AC_1}|=4\sqrt{3}$.
$$\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC_1}\right|=12\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{AC_1}|=4\sqrt{3}$$Следовательно, расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$ равно отношению площади параллелограмма, построенного на этих векторах, к длине основания.
$$d(B,AC_1)=\frac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC_1}|}{|\overrightarrow{AC_1}|}=\frac{12\sqrt{3}}{4\sqrt{3}}=3$$Угол между прямыми $AC_1$ и $BC$ равен $60^\circ$, расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$ равно $3$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Считать угол между направляющими векторами вместо меньшего угла между прямыми и не учитывать знак скалярного произведения.
Забыть, что $AC$ является диаметром, поэтому $\angle ABC=90^\circ$.
Использовать высоту цилиндра как длину $AC_1$ без учёта горизонтальной составляющей.
В формуле расстояния перепутать векторное произведение со скалярным.