Сечение правильной треугольной пирамиды
В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона основания $AB$ равна $6$, а боковое ребро $SA$ равно $4\sqrt{3}$. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $SA$ и $SB$ соответственно. Плоскость $\alpha$ содержит прямую $MN$ и перпендикулярна плоскости основания пирамиды. Докажите, что плоскость $\alpha$ делит медиану $CE$ основания в отношении $5:1$, считая от точки $C$, и найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды $SABC$ плоскостью $\alpha$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а) Докажите, что плоскость делит медиану основания в отношении считая от точки б) Найдите периметр многоугольника, являющегося сечением пирамиды плоскостью | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Как расположена прямая $MN$ относительно основания? Какие свойства имеет сечение плоскостью, перпендикулярной основанию и содержащей $MN$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Так как $MN$ — средняя линия треугольника $SAB$, то $MN \parallel AB$. Следовательно, линия пересечения плоскостей $\alpha$ и основания параллельна $AB$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Пусть $P=\alpha\cap CE$. В треугольнике $CFE$, где $F$ — точка пересечения линии сечения с $AC$, используйте $PF\parallel AB$ и отношение $AF:AC=1:6$, чтобы получить $CP:PE=5:1$. Затем найдите стороны сечения $MN$, $MP$, $PQ$ и $QN$.