Векторы в пространстве
Векторы позволяют переводить геометрические рассуждения в вычисления: находить длины и углы, проверять перпендикулярность и параллельность, составлять уравнения прямых. В этой теме используются координаты точек, правила действий с векторами и скалярное произведение.
Вектор и его координаты
Координаты точки в пространстве задаются тройкой \((x,y,z)\). Если \(A(x_A,y_A,z_A)\) и \(B(x_B,y_B,z_B)\), то координаты направленного вектора \(\overrightarrow{AB}\) получают вычитанием координат начала из координат конца.
Вектор — направленный отрезок. Векторы считаются равными, если они имеют одинаковые длину и направление. Нулевой вектор имеет координаты \((0,0,0)\) и длину \(0\).
Длина вектора определяется теоремой Пифагора в пространстве. Она совпадает с расстоянием между концами направленного отрезка; подробнее способ вычисления расстояния разобран на странице расстояние между точками в пространстве.
Действия выполняются покоординатно: \((a_x,a_y,a_z)+(b_x,b_y,b_z)=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z)\), а умножение на число \(k\) меняет каждую координату: \(k\vec a=(ka_x,ka_y,ka_z)\). При \(k<0\) направление вектора меняется на противоположное.
Ненулевые векторы \(\vec a\) и \(\vec b\) коллинеарны, если существует число \(k\), для которого \(\vec b=k\vec a\). В координатах это означает пропорциональность соответствующих координат, но сравнивать отношения нужно осторожно, если среди координат есть нули.
Скалярное произведение
Скалярное произведение векторов в пространстве связывает координаты векторов с углом между ними. Если \(\alpha\) — угол между ненулевыми векторами \(\vec a\) и \(\vec b\), то произведение равно произведению их длин на косинус угла.
Ненулевые векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю: \(\vec a\perp\vec b\Longleftrightarrow\vec a\cdot\vec b=0\).
Из формулы следуют полезные случаи: если произведение положительно, угол острый; если отрицательно — тупой. Угол можно найти по формуле косинуса, но в экзаменационных задачах часто достаточно установить перпендикулярность или сравнить углы.
Какое условие означает, что векторы \(\vec a=(2,-1,3)\) и \(\vec b=(1,1,-1)\) перпендикулярны?
Векторы в стереометрических задачах
В пространственной фигуре удобно выбрать координатную систему так, чтобы вершины имели простые координаты. Например, прямоугольный параллелепипед можно задать вершинами \(A(0,0,0)\), \(B(a,0,0)\), \(D(0,b,0)\) и \(A_1(0,0,c)\). Тогда три ребра из точки \(A\) направлены вдоль координатных осей.
Важный приём: сначала выпишите координаты именно нужных векторов, затем применяйте формулу. Чтобы найти угол между прямыми, берут направляющие векторы этих прямых. Для прямой через две точки направляющий вектор — разность координат точек. Векторное задание прямой подробно рассматривается на странице векторное уравнение прямой в пространстве.
1) Введите координаты точек или выберите удобную систему. 2) Найдите направляющие векторы. 3) Для длины используйте модуль, для угла — скалярное произведение. 4) Проверьте, что найденный угол или длина соответствуют условию и неотрицательны.
Разобранный пример
В прямоугольном параллелепипеде \(ABCD A_1B_1C_1D_1\) даны \(AB=3\), \(AD=4\), \(AA_1=12\). Найдём косинус угла между диагональю \(AC_1\) и ребром \(AD\).
Выберем координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(3,0,0)\), \(D(0,4,0)\), \(A_1(0,0,12)\). Тогда \(C_1(3,4,12)\).
Ответ: \(\cos\alpha=\frac{4}{13}\). Если требуется сам угол, записывают \(\alpha=\arccos\frac{4}{13}\) или находят его приближённое значение.
Связь с прямыми и плоскостями
Векторный метод особенно полезен при проверке взаимного положения объектов. Параллельность прямых проверяют по пропорциональности направляющих векторов. Перпендикулярность прямой и плоскости связывают с нормальным вектором плоскости; уравнение плоскости изучается на странице уравнение плоскости в пространстве.
При вычислении расстояний между точками и элементами фигуры применяются координаты, а при переходе от пространственного условия к плоскому — проекция отрезка. Для углов между объектами полезны страницы угол между прямой и плоскостью, линейный угол двугранного угла и перпендикулярность прямой и плоскости. Полный разбор стратегии решения можно продолжить на странице решение стереометрических задач.
Не путайте \(\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{BA}\): они противоположны. Не складывайте длины вместо координат и не забывайте возводить отрицательные координаты в квадрат. В формуле скалярного произведения нельзя пропускать третью координату. Для угла между прямыми выбирайте направления так, чтобы полученный угол соответствовал требуемому: смена направления одного вектора заменяет угол \(\alpha\) на \(180^\circ-\alpha\).
Координаты \(\overrightarrow{AB}\) — конец минус начало; длина — корень из суммы квадратов координат; скалярное произведение — сумма произведений соответствующих координат; перпендикулярность — нулевое скалярное произведение.
Быстрая проверка
Главное
- Координаты вектора получают по правилу «конец минус начало».
- Длина вектора равна корню из суммы квадратов его координат.
- Скалярное произведение вычисляют покоординатно или через угол.
- Нулевое скалярное произведение ненулевых векторов означает их перпендикулярность.
- В стереометрии сначала выбирают удобные координаты и направляющие векторы, а затем применяют подходящую формулу.