Тапсырмалар № 13, 15 · ЕГЭ

Координаты точки в пространстве

Как задать положение точки и найти расстояние между двумя точками

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Координаты точки в пространстве — это три числа, которые задают её положение относительно начала координат и трёх взаимно перпендикулярных координатных осей.

В прямоугольной системе координат точка \(A\) записывается тройкой \(A(x,y,z)\), где \(x\) — абсцисса, \(y\) — ордината, а \(z\) — аппликата точки. Эти числа равны направленным расстояниям от точки до координатных плоскостей с учётом выбранных направлений осей.

Систему координат обозначают \(Oxyz\): \(O\) — начало координат, а оси \(Ox\), \(Oy\) и \(Oz\) попарно перпендикулярны. Координаты позволяют переводить геометрические задачи в алгебраические. Например, вектор между точками можно задать разностями их соответствующих координат.

Расстояние между точками

Если даны точки \(A(x_1,y_1,z_1)\) и \(B(x_2,y_2,z_2)\), то длина отрезка \(AB\) находится по пространственной версии теоремы Пифагора. Подробнее это понятие разобрано на странице расстояние между точками в пространстве.

\[AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\]

№

Пример

Найдём расстояние между точками \(A(1,-2,3)\) и \(B(4,2,3)\). Подставим координаты в формулу: \(AB=\sqrt{(4-1)^2+(2-(-2))^2+(3-3)^2}=\sqrt{9+16}=5\). Точки имеют одинаковую третью координату, поэтому отрезок лежит в плоскости, параллельной координатной плоскости \(Oxy\).

Не перепутайте

Координаты точки — это не длины отрезков от начала координат до точки. Например, отрицательная координата означает направление, противоположное положительному направлению соответствующей оси. Кроме того, расстояние между точками всегда неотрицательно: разности координат возводятся в квадрат.

Проверьте себя

Чему равно расстояние между точками \(P(0,1,2)\) и \(Q(0,1,7)\)?

Главное за минуту

Главное

Точка в пространстве задаётся тройкой координат \(A(x,y,z)\).
Расстояние между точками вычисляют по формуле \(AB=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}\).
При вычислениях важно сохранять порядок координат и учитывать знаки чисел.