Тапсырма № 13 · ЕГЭ

Векторное уравнение прямой в пространстве

Как задать прямую через точку и направляющий вектор

2 мин чтенияҚиындық: Обновлено 27 қыркүйек 2026

Векторное уравнение прямой в пространстве задаёт все точки прямой через одну известную точку и её направляющий вектор. Оно позволяет записать прямую в единой формуле и перейти к параметрическим уравнениям.

Векторное уравнение прямой

Векторным уравнением прямой называют равенство \(\vec r=\vec r_0+t\vec v\), где \(\vec r\) — радиус-вектор произвольной точки прямой, \(\vec r_0\) — радиус-вектор известной точки этой прямой, \(\vec v\) — её ненулевой направляющий вектор, а \(t\in\mathbb R\) — параметр. Направляющий вектор задаёт направление прямой, поэтому любой ненулевой вектор, коллинеарный ему, задаёт ту же прямую.

Для жазбалар нужно знать координаты точки \(A(x_0,y_0,z_0)\) и координаты направляющего вектора из темы векторы в пространстве: \(\vec v=(a,b,c)\). Тогда точка \(M(x,y,z)\) принадлежит прямой тогда и только тогда, когда выполняется следующее уравнение.

\[\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+t\vec v,\quad t\in\mathbb R\]

В координатах это означает: из координат точки \(A\) прибавляется одно и то же число \(t\), умноженное на соответствующую координату направляющего вектора. При \(t=0\) получается точка \(A\), а при других значениях параметра — остальные точки прямой.

\[\begin{cases}x=x_0+at,\\y=y_0+bt,\\z=z_0+ct,\end{cases}\quad t\in\mathbb R\]

№

Пример

Пусть прямая проходит через точку \(A(1,-2,3)\) и имеет направляющий вектор \(\vec v=(2,1,-1)\). Её векторное уравнение: \(\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+t(2,1,-1)\). Параметрическая жазба: \(x=1+2t\), \(y=-2+t\), \(z=3-t\). При \(t=2\) получаем точку \(M(5,0,1)\) на этой прямой.

Не перепутайте

Направляющий вектор не является точкой: у него нет фиксированного положения в пространстве, важны только его координаты и направление. Кроме того, вектор должен быть ненулевым. Две записи с коллинеарными направляющими векторами могут задавать одну и ту же прямую, если обе прямые проходят через общую точку.

Проверьте себя

Какая жазба задаёт прямую, проходящую через \(A(2,1,-1)\) с направляющим вектором \((1,0,3)\)?

Главное за минуту

Главное

Векторное уравнение прямой имеет вид \(\vec r=\vec r_0+t\vec v\), где \(t\) — любое действительное число.
По точке \(A(x_0,y_0,z_0)\) и вектору \((a,b,c)\) получают \(x=x_0+at\), \(y=y_0+bt\), \(z=z_0+ct\).
Направляющий вектор должен быть ненулевым; любой коллинеарный ему вектор задаёт то же направление.