Перпендикулярность прямой и плоскости
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через точку их пересечения. На практике проверяют это свойство по признаку: достаточно доказать перпендикулярность двум пересекающимся прямым плоскости.
Признак
Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то эта прямая перпендикулярна плоскости. Пусть \(a\cap\alpha=O\), а прямые \(b\) и \(c\) лежат в \(\alpha\), пересекаются в точке \(O\), и \(a\perp b\), \(a\perp c\). Тогда \(a\perp\alpha\).
Этот признак особенно полезен в задачах на доказательство. Нужно найти в плоскости две пересекающиеся прямые, обычно это рёбра, диагонали или линии, проведённые через точку пересечения. Затем доказать, что рассматриваемая прямая перпендикулярна каждой из них. После этого можно сделать вывод о перпендикулярности всей плоскости.
В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) ребро \(AA_1\) перпендикулярно рёбрам \(AB\) и \(AD\). Прямые \(AB\) и \(AD\) пересекаются в точке \(A\) и лежат в плоскости \(ABCD\). По признаку \(AA_1\perp(ABCD)\). Значит, боковое ребро является высотой параллелепипеда относительно основания.
Перпендикулярность прямой и плоскости не означает, что прямая перпендикулярна только одной прямой плоскости. Одной такой проверки недостаточно: нужны две пересекающиеся прямые плоскости. Также угол между прямой и плоскостью — это отдельное понятие; при перпендикулярности он равен \(90^\circ\).
Что необходимо доказать, чтобы применить признак перпендикулярности прямой и плоскости?
Главное
- Для доказательства \(a\perp\alpha\) достаточно найти в плоскости две пересекающиеся прямые.
- Прямая должна быть перпендикулярна каждой из этих двух прямых.
- В задачах признак позволяет заменить проверку бесконечного множества прямых плоскости двумя проверками.