Перпендикулярные плоскости
Перпендикулярные плоскости — это две плоскости, образующие прямой двугранный угол, то есть угол величиной \(90^\circ\). Чтобы доказать перпендикулярность плоскостей, достаточно найти в одной из них прямую, перпендикулярную другой плоскости.
Угол между плоскостями определяют как угол между двумя прямыми, проведёнными из одной точки ребра перпендикулярно этому ребру, по одной прямой в каждой плоскости. Такой угол называют линейным углом двугранного угла. Если линейный угол прямой, то плоскости перпендикулярны.
Признак перпендикулярности плоскостей
Если одна из двух пересекающихся плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
Пусть плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) пересекаются по прямой \(c\). Если в плоскости \(\alpha\) существует прямая \(a\) такая, что \(a\perp\beta\), то \(\alpha\perp\beta\). На практике сначала обосновывают, что прямая перпендикулярна плоскости, используя признак из темы перпендикулярность прямой и плоскости, а затем применяют признак для плоскостей.
Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(a\), а \(a\perp\beta\). По признаку перпендикулярности плоскостей получаем \(\alpha\perp\beta\). Следовательно, любой линейный угол двугранного угла, образованного этими плоскостями, равен \(90^\circ\).
Перпендикулярность прямой и плоскости означает, что прямая образует угол \(90^\circ\) с каждой прямой плоскости, проходящей через точку пересечения. Перпендикулярность плоскостей — свойство двух плоскостей. Нельзя делать вывод о перпендикулярности плоскостей только по тому, что в каждой из них есть по одной перпендикулярной прямой.
В плоскости \(\alpha\) лежит прямая \(a\), причём \(a\perp\beta\). Какой вывод верен?
Главное
- Перпендикулярные плоскости образуют двугранный угол \(90^\circ\).
- Если плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
- Для вычислений и доказательств часто используют линейный угол двугранного угла.