Задания № 13, 15 · ЕГЭ

Угол между прямой и плоскостью

Определение, свойства и формулы для вычисления угла

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Угол между прямой и плоскостью — это острый угол между данной прямой и её ортогональной проекцией на плоскость. Он показывает, насколько прямая наклонена к плоскости: от \(0^\circ\) для параллельной прямой до \(90^\circ\) для перпендикулярной прямой.

Пусть прямая \(a\) пересекает плоскость \(\alpha\) в точке \(A\). Проведём через точку \(A\) прямую \(b\), лежащую в плоскости \(\alpha\) и являющуюся проекцией прямой \(a\) на эту плоскость. Острый угол между прямыми \(a\) и \(b\) называют углом между прямой \(a\) и плоскостью \(\alpha\). Обозначают его \(\varphi\), где \(0^\circ\leq\varphi\leq90^\circ\).

Формулы

Если прямая образует с плоскостью угол \(\varphi\), а отрезок этой прямой имеет длину \(l\), то длина его проекции \(l_{\text{пр}}\) равна:

\[l_{\text{пр}}=l\cos\varphi\]

Отсюда угол можно найти так:

\[\cos\varphi=\frac{l_{\text{пр}}}{l},\qquad \varphi=\arccos\frac{l_{\text{пр}}}{l}\]

Если известен направляющий вектор прямой \(\vec a\) и нормальный вектор плоскости \(\vec n\), то удобно использовать скалярное произведение:

\[\sin\varphi=\frac{|\vec a\cdot\vec n|}{|\vec a|\,|\vec n|}\]

№

Пример

Отрезок длиной \(10\) см образует с плоскостью угол \(60^\circ\). Длина его проекции на плоскость равна \(10\cos60^\circ=5\) см.

Не путайте

Угол между прямой и плоскостью не равен углу между прямой и нормалью к плоскости: эти углы в сумме дают \(90^\circ\). Если прямая перпендикулярна плоскости, её угол с плоскостью равен \(90^\circ\), а с нормалью — \(0^\circ\).

Проверьте себя

Чему равен угол между прямой, параллельной плоскости, и этой плоскостью?

Главное за минуту

Главное

Угол между прямой и плоскостью — острый угол между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость.
Для отрезка длины \(l\): \(l_{\text{пр}}=l\cos\varphi\).
Через направляющий и нормальный векторы: \(\sin\varphi=\frac{|\vec a\cdot\vec n|}{|\vec a|\,|\vec n|}\).