Проекция отрезка
Ортогональная проекция отрезка на плоскость — это отрезок, соединяющий ортогональные проекции его концов на данную плоскость. Его длина показывает, какая часть исходного отрезка «видна» в направлении плоскости.
Чтобы построить проекцию, из точек \(A\) и \(B\) проводят перпендикуляры к плоскости \(\alpha\). Их основания обозначают \(A_1\) и \(B_1\), затем соединяют эти точки. Если отрезок лежит в плоскости, его проекция совпадает с самим отрезком.
Связь длин
Пусть \(AB\) — исходный отрезок, а \(A_1B_1\) — его проекция на плоскость. Обозначим через \(\alpha\) угол между прямой \(AB\) и плоскостью. Этот угол изучается в теме угол между прямой и плоскостью. Тогда длина проекции равна произведению длины отрезка на косинус этого угла.
Здесь \(0^\circ\leq\alpha\leq90^\circ\). Поэтому \(A_1B_1\leq AB\): ортогональная проекция не может быть длиннее исходного отрезка. При \(\alpha=0^\circ\) отрезок параллелен плоскости, и длины равны; при \(\alpha=90^\circ\) его проекция — точка.
Отрезок длиной \(10\) см образует с плоскостью угол \(60^\circ\). Тогда длина его проекции равна \(10\cdot\cos60^\circ=10\cdot\frac12=5\) см.
Проекция отрезка — не то же самое, что проекция площади. Для отрезка используется формула \(l_{\text{пр}}=l\cos\alpha\), а для площади рассматривают угол между плоскостями и применяют другую зависимость.
Отрезок длиной \(8\) см перпендикулярен плоскости. Чему равна длина его проекции?
Главное
- Проекция отрезка — отрезок между проекциями его концов на плоскость.
- Если \(\alpha\) — угол между отрезком и плоскостью, то \(l_{\text{пр}}=l\cos\alpha\).
- Длина проекции не превосходит длину исходного отрезка; при перпендикулярности проекция превращается в точку.