Касательная плоскость к сфере
Касательная плоскость к сфере — это плоскость, имеющая со сферой ровно одну общую точку. Главный признак: если плоскость проходит через точку сферы и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она является касательной к сфере.
Признак касательной плоскости
Пусть точка \(T\) лежит на сфере с центром \(O\), а плоскость \(\alpha\) проходит через \(T\). Если \(OT \perp \alpha\), то плоскость \(\alpha\) — касательная к сфере в точке \(T\). Это следует из перпендикулярности прямой и плоскости: перпендикуляр из центра сферы к плоскости имеет наименьшую длину среди отрезков от центра до точек плоскости. Поэтому только точка \(T\) плоскости может находиться на расстоянии \(OT\), равном радиусу сферы.
Свойство радиуса в точке касания
Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости: \(OT \perp \alpha\). Это свойство работает и в обратную сторону вместе с признаком: плоскость, проходящая через точку сферы перпендикулярно соответствующему радиусу, касается сферы только в этой точке. Не следует путать сферу с поверхностью сферы и шаром: касательная плоскость касается именно поверхности, не пересекая её.
Сфера имеет центр \(O\) и радиус \(6\) см. Точка \(T\) лежит на сфере, поэтому \(OT=6\) см. Через \(T\) проведена плоскость \(\alpha\), причём \(OT\perp\alpha\). По признаку \(\alpha\) — касательная плоскость к сфере в точке \(T\).
Недостаточно, чтобы плоскость просто проходила через точку сферы. Для касания необходимо также доказать её перпендикулярность радиусу \(OT\). Если плоскость пересекает сферу по окружности, это уже сечение сферы плоскостью, а не касание.
Что нужно доказать, чтобы плоскость \(\alpha\), проходящая через точку \(T\) сферы, была касательной?
Главное
- Касательная плоскость имеет со сферой одну общую точку — точку касания.
- Плоскость через точку сферы является касательной, если она перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку.
- Радиус к точке касания перпендикулярен касательной плоскости.