Задание № 12 · ЕГЭ

Сфера

Поверхность шара: радиус, диаметр и уравнение

2 мин чтенияСложность: Обновлено 27 сентября 2026

Сфера — это поверхность, состоящая из всех точек пространства, находящихся на одинаковом расстоянии от одной точки. Эта точка называется центром сферы, а одинаковое расстояние — её радиусом.

Сфера

Сфера — геометрическое место точек пространства, удалённых от данной точки \(O\) на одно и то же расстояние \(R\). Точка \(O\) — центр сферы, а \(R\) — радиус сферы. Сфера является границей шара: шар включает и внутренние точки, и саму сферу.

Основные элементы

Отрезок, соединяющий центр сферы с любой точкой сферы, является радиусом. Все радиусы одной сферы равны. Отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящий через центр, называется диаметром. Диаметр равен двум радиусам: \(d=2R\).

\[d=2R,\qquad R=\frac{d}{2}\]

Сферу можно задать центром и радиусом. Если центр находится в начале координат \(O(0,0,0)\), её уравнение имеет вид:

\[x^2+y^2+z^2=R^2\]

Если центр сферы имеет координаты \(O(a,b,c)\), уравнение изменяется так:

\[(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\]

Не путайте сферу и шар

Сфера — только внешняя поверхность. Шар — тело, ограниченное сферой, то есть сфера вместе со всеми точками внутри неё. Поэтому в задачах о площади поверхности рассматривают сферу, а в задачах об объёме — шар.

№

Пример

Найдём радиус сферы, если её диаметр равен \(14\) см. По формуле \(R=\frac{d}{2}\) получаем: \(R=\frac{14}{2}=7\) см. Если центр сферы находится в начале координат, её уравнение: \(x^2+y^2+z^2=49\).

Проверьте себя

Какое уравнение задаёт сферу с центром \(O(1,-2,3)\) и радиусом \(4\)?

Главное за минуту

Главное

Сфера — поверхность, все точки которой находятся на расстоянии \(R\) от центра.
Диаметр сферы равен \(2R\); радиус равен половине диаметра.
Уравнение сферы с центром \(O(a,b,c)\): \((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2\).