Скалярное произведение векторов в пространстве
Скалярное произведение векторов в пространстве — это число, которое характеризует длины векторов и угол между ними. С его помощью можно найти угол между пространственными векторами, проверить их перпендикулярность и решать задачи стереометрии.
Формулы
Если векторы заданы координатами \(\vec{a}=(a_x,a_y,a_z)\) и \(\vec{b}=(b_x,b_y,b_z)\), их скалярное произведение вычисляют покоординатно:
Длины векторов находят по формуле \(|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\). Поэтому угол между ненулевыми векторами определяется так:
Если векторы заданы координатами точек, сначала составляют вектор по правилу: \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\,y_B-y_A,\,z_B-z_A)\). Это связывает вычисление скалярного произведения с координатами точки в пространстве.
Пусть \(\vec{a}=(1,2,2)\) и \(\vec{b}=(2,1,-2)\). Тогда \(\vec{a}\cdot\vec{b}=1\cdot2+2\cdot1+2\cdot(-2)=0\). Так как произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, то есть угол между ними равен \(90^\circ\).
Скалярное произведение — не то же самое, что длина или расстояние между точками. Расстояние является длиной отрезка и не зависит от второго вектора. Для проверки перпендикулярности используют условие \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\), а не равенство длин.
Чему равно скалярное произведение перпендикулярных ненулевых векторов?
Главное
- Скалярное произведение — число: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}|\,|\vec{b}|\cos\alpha\).
- В координатах перемножают соответствующие координаты и складывают результаты.
- Угол находят через \(\cos\alpha=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\); при нулевом произведении векторы перпендикулярны.