Сечение прямоугольного параллелепипеда

ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 15 · Стереометрия

ВысокаяФИПИC300DCРазвёрнутое решение≈ 15 минут

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=6\sqrt{2}$, $AD=10$, $AA_1=16$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E:EA=5:3$ и $B_1F:FB=5:11$. Точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$.

Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$, и найдите площадь сечения параллелепипеда этой плоскостью.

Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить

Дайте развернутый ответ.

В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известны длины рёбер: $A B = 6 \sqrt{2}$ , $A D = 10$ , $A A_{1} = 16$ . На рёбрах $A A_{1}$ и $B B_{1}$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_{1} E : E A = 5 : 3$ и $B_{1} F : F B = 5 : 11$ . Точка $T$ $—$ середина ребра $B_{1} C_{1}$ .

а) Докажите, что плоскость $E F T$ проходит через точку $D_{1}$ .

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $E F T$ .

Ответ

Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.

Открыть разбор

3 уровня: от лёгкого толчка до почти готового решения. Следующий открывается, когда прочитан предыдущий, — чтобы не перепрыгнуть сразу к ответу.

1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3

Введём координаты: $A(0,0,0)$, ось $Ox$ направим вдоль $AB$, ось $Oy$ — вдоль $AD$, ось $Oz$ — вдоль $AA_1$. Найдите координаты точек $E$, $F$, $T$ и $D_1$.

2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3

Составьте уравнение плоскости по трём точкам $E$, $F$, $T$ и проверьте, удовлетворяют ли ему координаты точки $D_1$. Затем найдите площадь четырёхугольника $EFTD_1$ как сумму площадей двух треугольников.

3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3

Получаются точки $E(0,0,10)$, $F(6\sqrt{2},0,11)$, $T(6\sqrt{2},5,16)$, $D_1(0,10,16)$. Уравнение плоскости: $5x+18\sqrt{2}y-30\sqrt{2}z+300\sqrt{2}=0$. Разбейте сечение диагональю $ED_1$.

Всё равно не складывается?Полное решение с обоснованием каждого шага — на отдельной странице.

Открыть решение

ПредыдущаяУгол между гранями пирамидыСледующаяСечение правильной треугольной пирамиды

Задание 15 ЕГЭ, математика, профиль