Сечение прямоугольного параллелепипеда

ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 15 · Стереометрия

ВысокаяФИПИE8E9A7Развёрнутое решение≈ 15 минут

В прямоугольном параллелепипеде $ABCDA_1B_1C_1D_1$ известны длины рёбер: $AB=2\sqrt{2}$, $AD=6$, $AA_1=10$. На рёбрах $AA_1$ и $BB_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_1E:EA=3:2$ и $B_1F:FB=3:7$. Точка $T$ — середина ребра $B_1C_1$.

а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1$.
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT$.

Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить

Дайте развернутый ответ.

В прямоугольном параллелепипеде $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ известны длины рёбер: $A B = 2 \sqrt{2}$ , $A D = 6$ , $A A_{1} = 10$ . На рёбрах $A A_{1}$ и $B B_{1}$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_{1} E : E A = 3 : 2$ и $B_{1} F : F B = 3 : 7$ . Точка $T$ $—$ середина ребра $B_{1} C_{1}$ .

а) Докажите, что плоскость $E F T$ проходит через точку $D_{1}$ .

б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $E F T$ .

Ответ

Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.

Открыть разбор

3 уровня: от лёгкого толчка до почти готового решения. Следующий открывается, когда прочитан предыдущий, — чтобы не перепрыгнуть сразу к ответу.

1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3

Введи координаты вершин параллелепипеда, направив оси вдоль рёбер $AB$, $AD$ и $AA_1$. Найди координаты точек $E$, $F$, $T$ и $D_1$.

2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3

Составь уравнение плоскости через точки $E$, $F$ и $D_1$ и проверь, что координаты точки $T$ удовлетворяют этому уравнению. Сечение имеет вершины $E$, $F$, $T$, $D_1$.

3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3

При $b=2\sqrt{2}$ можно взять $E=(0,0,4)$, $F=(b,0,7)$, $T=(b,3,10)$, $D_1=(0,6,10)$. Разбей четырёхугольник $EFTD_1$ диагональю $ET$ на два треугольника.

Всё равно не складывается?Полное решение с обоснованием каждого шага — на отдельной странице.

Открыть решение

ПредыдущаяСечение правильной пирамидыСледующаяЦилиндр и угол между прямыми

Задание 15 ЕГЭ, математика, профиль