Призма и угол между прямой и плоскостью

ЕГЭ · Математика, профиль · Задание 15 · Стереометрия

ВысокаяФИПИF7B7A1Развёрнутое решение≈ 15 минут

В основании прямой треугольной призмы $ABC A_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$, причём $AB=BC$. Точка $K$ — середина ребра $A_1B_1$, а точка $M$ делит ребро $AC$ в отношении $AM:MC=1:3$.

а) Докажите, что $KM\perp AC$. б) Найдите угол между прямой $KM$ и плоскостью $ABB_1$, если $AB=6$, $AC=8$ и $AA_1=3$.

Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить

Дайте развернутый ответ.

В основании прямой треугольной призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ лежит равнобедренный ( $A B = B C$ ) треугольник $A B C$ . Точка $K$ $—$ середина ребра $A_{1} B_{1}$ , а точка $M$ делит ребро $A C$ в отношении $A M : M C = 1 : 3$ .

а) Докажите, что $K M ⊥ A C$ .

б) Найдите угол между прямой $K M$ и плоскостью $A B B_{1}$ , если $A B = 6$ , $A C = 8$ и $A A_{1} = 3$ .

Ответ

Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.

Открыть разбор

3 уровня: от лёгкого толчка до почти готового решения. Следующий открывается, когда прочитан предыдущий, — чтобы не перепрыгнуть сразу к ответу.

1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3

Как связаны отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, и третья сторона?

2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3

Рассмотрите четырёхугольник $AKMA_1$ или используйте координаты. Для угла между прямой и плоскостью найдите нормаль к плоскости $ABB_1$.

3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3

Высота равнобедренного треугольника $ABC$ к основанию $AC$ равна $2\sqrt{5}$. Можно взять $A=(-4,0,0)$, $C=(4,0,0)$, $B=(0,2\sqrt{5},0)$, $A_1=(-4,0,3)$, $B_1=(0,2\sqrt{5},3)$. Тогда $M=(-2,0,0)$ и $K=(-2,\sqrt{5},3)$.

Всё равно не складывается?Полное решение с обоснованием каждого шага — на отдельной странице.

Открыть решение

ПредыдущаяЦентры окружностей в призмеСледующаяПлоскость в треугольной призме

Задание 15 ЕГЭ, математика, профиль