Сечение пирамиды трапецией
В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO$.
а) Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ является трапецией. б) Найдите площадь сечения, если $AD=10$, $BC=8$, $SO=8$, а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В основании пирамиды лежит трапеция с боьшим основанием Диагонали трапеции пересекаются в точке Точки и середины боковых сторон и соответственно. Плоскость проходит через точки и параллельно прямой а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью является трапецией. б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью , если а прямая перпендикулярна прямой | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Как расположена средняя линия трапеции $MN$ относительно оснований $AD$ и $BC$? Какие рёбра пирамиды пересекает плоскость $\alpha$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Используйте теорему о средней линии трапеции: $MN \parallel AD \parallel BC$ и $MN=\dfrac{AD+BC}{2}$. Так как $\alpha \parallel SO$, сечения боковых граней плоскостью $\alpha$ дают отрезки, параллельные соответствующим направлениям.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Пусть $P=\alpha\cap SA$, $Q=\alpha\cap SD$. Из подобия в сечениях, параллельных $SO$, получаем $\dfrac{AP}{AS}=\dfrac{DQ}{DS}=\dfrac{9}{10}$. Поэтому $PQ\parallel AD$ и $PQ=9$. Расстояние между параллельными основаниями сечения равно $\dfrac{9}{10}SO=7{,}2$, так как $SO\perp AD$. Площадь равна $9\cdot7{,}2=64{,}8$.