Решение: Сечение пирамиды трапецией
В основании пирамиды $SABCD$ лежит трапеция $ABCD$ с большим основанием $AD$. Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$. Точки $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $M$ и $N$ параллельно прямой $SO$.
а) Докажите, что сечение пирамиды $SABCD$ плоскостью $\alpha$ является трапецией. б) Найдите площадь сечения, если $AD=10$, $BC=8$, $SO=8$, а прямая $SO$ перпендикулярна прямой $AD$.
Решение по шагам
6 шаговТак как $M$ и $N$ — середины боковых сторон трапеции $ABCD$, отрезок $MN$ является средней линией трапеции.
$$MN\parallel AD\parallel BC,\qquad MN=\frac{AD+BC}{2}$$Следовательно, плоскость $\alpha$ пересекает основание пирамиды по отрезку $MN$, параллельному основаниям трапеции. Обозначим через $P$ и $Q$ точки пересечения плоскости $\alpha$ с рёбрами $SA$ и $SD$ соответственно. Так как плоскость $\alpha$ параллельна $SO$, в соответствующих сечениях получаем одинаковое отношение деления рёбер.
$$\frac{AP}{AS}=\frac{DQ}{DS}$$В плоскости основания диагонали трапеции делятся точкой пересечения в отношении оснований. Поскольку $AD:BC=10:8=5:4$, точка $O$ находится на расстоянии, соответствующем отношению $5:4$. Из условия параллельности $\alpha$ прямой $SO$ следует, что верхнее основание сечения $PQ$ делит боковые рёбра в отношении $9:1$ от вершины основания, то есть $\dfrac{AP}{AS}=\dfrac{DQ}{DS}=\dfrac{9}{10}$.
$$PQ=\frac{9}{10}AD=\frac{9}{10}\cdot10=9$$Отрезки $MN$ и $PQ$ параллельны, поэтому сечение $MPQN$ является трапецией. В данном случае его основания равны: $MN=\dfrac{10+8}{2}=9$ и $PQ=9$.
$$MN=\frac{AD+BC}{2}=\frac{10+8}{2}=9$$Так как $SO\perp AD$, а $MN\parallel AD$, прямая $SO$ перпендикулярна $MN$. Расстояние между основаниями сечения равно соответствующей части отрезка $SO$:
$$h=\frac{9}{10}SO=\frac{9}{10}\cdot8=7{,}2$$Находим площадь сечения как площадь трапеции.
$$S_{MPQN}=\frac{MN+PQ}{2}\cdot h=\frac{9+9}{2}\cdot7{,}2=64{,}8$$Сечение является трапецией; его площадь равна $64{,}8$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Не указывают, какие именно рёбра пересекает плоскость сечения.
Забывают доказать параллельность оснований полученной трапеции.
Ошибочно считают высотой сечения весь отрезок $SO$, а не его часть $\frac{9}{10}SO$.
Неверно применяют формулу средней линии трапеции.