Решение: Сечение правильной призмы
В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$ все рёбра равны $4$. Точка $K$ — середина ребра $A_1B_1$. Докажите, что сечение призмы плоскостью $AKC$ является равнобедренной трапецией, и найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AKC$.
Решение по шагам
8 шаговВведём координаты: $A(0,0,0)$, $B(4,0,0)$, $C(2,2\sqrt3,0)$, $A_1(0,0,4)$, $B_1(4,0,4)$, $C_1(2,2\sqrt3,4)$.
Так как $K$ — середина $A_1B_1$, имеем $K(2,0,4)$. Обозначим через $L$ середину ребра $B_1C_1$. Тогда $L(3,\sqrt3,4)$.
Точки $A$, $K$, $C$ задают плоскость сечения. На верхнем основании её пересечение проходит через $K$ и точку $L$ на ребре $B_1C_1$, поэтому сечение имеет вершины $A$, $C$, $L$, $K$.
В треугольнике $A_1B_1C_1$ отрезок, соединяющий середины сторон $A_1B_1$ и $B_1C_1$, параллелен третьей стороне. Следовательно, $KL\parallel A_1C_1\parallel AC$.
Вычислим боковые стороны сечения: $AK=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt5$, а $CL=\sqrt{1^2+(\sqrt3)^2+4^2}=2\sqrt5$. Значит, $AK=CL$, поэтому сечение $ACKL$ является равнобедренной трапецией.
Найдём уравнение плоскости $AKC$. Векторы $\overrightarrow{AK}=(2,0,4)$ и $\overrightarrow{AC}=(2,2\sqrt3,0)$ задают эту плоскость. Её уравнение: $-2\sqrt3 x+2y+\sqrt3 z=0$.
Расстояние от точки $B(4,0,0)$ до плоскости вычисляется по формуле расстояния от точки до плоскости: $d=\dfrac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.
Подставляя координаты точки $B$, получаем $d=\dfrac{|-2\sqrt3\cdot4|}{\sqrt{(-2\sqrt3)^2+2^2+(\sqrt3)^2}}=\dfrac{8\sqrt3}{\sqrt{19}}$.
Сечение — равнобедренная трапеция $ACKL$, где $KL\parallel AC$ и $AK=CL=2\sqrt5$. Расстояние от точки $B$ до плоскости $AKC$ равно $\dfrac{8\sqrt3}{\sqrt{19}}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют четвёртую вершину сечения и считают, что сечение является треугольником.
Забывают доказать параллельность оснований трапеции.
При вычислении расстояния используют длину нормального вектора без деления на его модуль.
Ошибаются в уравнении плоскости из-за неверного порядка координат вершин призмы.