Решение: Объём правильной пирамиды
В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 8, а боковое ребро равно 7. На рёбрах и отмечены точки и соответственно, причём , .
а) Докажите, что плоскость перпендикулярна плоскости .
б) Найдите объём пирамиды.
В распознанном изображении не сохранились обозначения рёбер, точек, плоскостей и соотношений между отрезками. Для полного доказательства необходимо восстановить эти обозначения.
Решение по шагам
6 шаговОснование пирамиды — квадрат со стороной 8, поэтому его площадь равна
$$S_{\text{осн}}=8^2=64$$Центр правильной пирамиды равноудалён от всех вершин основания. Расстояние от центра квадрата до вершины равно половине диагонали квадрата:
$$R=\frac{8\sqrt{2}}{2}=4\sqrt{2}$$Высота пирамиды, боковое ребро и отрезок от центра основания до вершины образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:
$$h^2+R^2=7^2$$Следовательно, высота пирамиды равна
$$h=\sqrt{49-32}=\sqrt{17}$$Объём пирамиды вычисляется по формуле:
$$V=\frac13 S_{\text{осн}}h=\frac13\cdot64\cdot\sqrt{17}=\frac{64\sqrt{17}}{3}$$Часть а) невозможно однозначно восстановить: на изображении отсутствуют обозначения рёбер, точек и плоскостей, поэтому конкретное доказательство перпендикулярности требует уточнения исходного условия.
Объём пирамиды равен $\dfrac{64\sqrt{17}}{3}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Используют боковое ребро 7 как высоту пирамиды.
Берут расстояние от центра квадрата до стороны вместо расстояния до вершины.
Забывают множитель $\dfrac13$ в формуле объёма пирамиды.
Пытаются доказать пункт а) без восстановления обозначений плоскостей и точек.