Решение: Плоскость в прямой призме
В основании прямой призмы $ABC A_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP:PB=1:3$, а точка $Q$ — середина ребра $A_1C_1$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную отрезку $PQ$. Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB$. Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, считая от точки $P$, если известно, что $AB=AA_1$, $AB:BC=2:5$.
Решение по шагам
8 шаговВведём координаты так, чтобы $A=(-1,0,0)$, $B=(1,0,0)$, а ребро $AA_1$ было направлено вдоль оси $Oz$. Так как $AB=2$ и $AB=AA_1$, получаем $A_1=(-1,0,2)$.
Треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AB$, поэтому $C$ лежит на перпендикулярном серединном к $AB$. Из условия $AB:BC=2:5$ следует $BC=5$. Тогда высота равнобедренного треугольника равна $\sqrt{5^2-1^2}=2\sqrt{6}$, поэтому $C=(0,2\sqrt{6},0)$.
Из отношения $AP:PB=1:3$ следует, что точка $P$ находится на четверти отрезка $AB$, считая от $A$: $P=(-\frac12,0,0)$.
Точка $Q$ — середина $A_1C_1$, где $C_1=(0,2\sqrt{6},2)$. Поэтому $Q=(-\frac12,\sqrt{6},2)$. Направляющий вектор отрезка $PQ$ равен $\overrightarrow{PQ}=(0,\sqrt{6},2)$.
Середина ребра $BC$ имеет координаты $M=(\frac12,\sqrt{6},0)$. Плоскость $\alpha$, проходящая через $M$ и перпендикулярная $PQ$, имеет нормальный вектор $\overrightarrow{PQ}$. Поэтому её уравнение: $\sqrt{6}(y-\sqrt{6})+2z=0$, то есть $\sqrt{6}y+2z=6$.
Направляющий вектор ребра $AB$ равен $(2,0,0)$. Он перпендикулярен нормальному вектору плоскости $\alpha$: $(2,0,0)\cdot(0,\sqrt{6},2)=0$. Следовательно, ребро $AB$ параллельно плоскости $\alpha$.
Параметрические координаты точек отрезка $PQ$: $X(t)=P+t\overrightarrow{PQ}=(-\frac12,t\sqrt{6},2t)$, где $0\leq t\leq1$. Подставим их в уравнение плоскости $\alpha$: $\sqrt{6}\cdot t\sqrt{6}+2\cdot2t=6$, откуда $6t+4t=6$ и $t=\frac35$.
Значит, от точки $P$ до плоскости пройдено $\frac35$ всего отрезка $PQ$, а от точки пересечения до $Q$ — $\frac25$. Поэтому плоскость делит отрезок $PQ$ в отношении $3:2$, считая от точки $P$.
Плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB$; она делит отрезок $PQ$ в отношении $3:2$, считая от точки $P$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определить координаты точки $P$ из отношения $AP:PB=1:3$.
Забыть, что нормальный вектор плоскости, перпендикулярной $PQ$, направлен вдоль $\overrightarrow{PQ}$.
Получить параметр $t=\frac35$, но записать отношение частей как $2:3$ вместо $3:2$ при отсчёте от точки $P$.