Сечение правильного тетраэдра
На рёбрах $BC$, $AB$ и $AD$ правильного тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $L$, $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $BL:LC=AM:MB=AN:ND=1:2$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$, проходящая через точки $L$, $M$, $N$, делит ребро $CD$ в отношении $2:1$, считая от вершины $C$.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AB=6$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На рёбрах и правильного тетраэдра отмечены точки и соответственно. Известно, что а) Докажите, что плоскость проходящая через точки делит ребро в отношении считая от вершины б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью если | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Выразите радиус-векторы точек $L$, $M$ и $N$ через радиус-векторы вершин тетраэдра и найдите точку пересечения плоскости $LMN$ с ребром $CD$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Положите начало координат в точке $A$, а $\vec{AB}=\mathbf b$, $\vec{AC}=\mathbf c$, $\vec{AD}=\mathbf d$. Тогда $M=\frac13\mathbf b$, $N=\frac13\mathbf d$, $L=\frac13(2\mathbf b+\mathbf c)$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Точка $P\in CD$ с отношением $CP:PD=2:1$ имеет радиус-вектор $\frac13(\mathbf c+2\mathbf d)$. Проверьте, что $P$ лежит в плоскости $LMN$, а затем найдите площадь четырёхугольника $MLPN$ по его диагоналям.