Решение: Сечение правильного тетраэдра
На рёбрах $BC$, $AB$ и $AD$ правильного тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $L$, $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $BL:LC=AM:MB=AN:ND=1:2$.
а) Докажите, что плоскость $\alpha$, проходящая через точки $L$, $M$, $N$, делит ребро $CD$ в отношении $2:1$, считая от вершины $C$.
б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если $AB=6$.
Решение по шагам
8 шаговПусть начало координат находится в точке $A$, а $\vec{AB}=\mathbf b$, $\vec{AC}=\mathbf c$, $\vec{AD}=\mathbf d$. Из условий деления отрезков получаем:
$$\vec{AM}=\frac13\mathbf b,\qquad \vec{AN}=\frac13\mathbf d,\qquad \vec{AL}=\frac13(2\mathbf b+\mathbf c)$$Рассмотрим точку $P$ на ребре $CD$, для которой $CP:PD=2:1$. Тогда:
$$\vec{AP}=\frac13(\mathbf c+2\mathbf d)$$Покажем, что $P$ принадлежит плоскости $LMN$. Имеем:
$$\vec{AP}=2\vec{AN}+\vec{AL}-2\vec{AM}$$Так как коэффициенты в полученном выражении равны $2$, $1$, $-2$, а их сумма равна $1$, точка $P$ является аффинной комбинацией точек $N$, $L$, $M$ и лежит в плоскости $LMN$. Следовательно, плоскость $\alpha$ пересекает ребро $CD$ в точке $P$, причём $CP:PD=2:1$.
Сечением является четырёхугольник $MLPN$. Его диагонали имеют векторы:
$$\vec{MP}=\frac13(\mathbf c+2\mathbf d-\mathbf b),\qquad \vec{LN}=\frac13(\mathbf d-2\mathbf b-\mathbf c)$$В правильном тетраэдре с ребром $a=6$ длины векторов $\mathbf b$, $\mathbf c$, $\mathbf d$ равны $a$, а скалярное произведение любых двух из них равно $\frac{a^2}{2}$. Поэтому:
$$|MP|^2=|LN|^2=\frac{5a^2}{9},\qquad \vec{MP}\cdot\vec{LN}=-\frac{a^2}{18}$$Площадь четырёхугольника равна половине модуля векторного произведения его диагоналей:
$$S=\frac12\sqrt{|MP|^2|LN|^2-(\vec{MP}\cdot\vec{LN})^2}=\frac12\sqrt{\frac{25a^4}{81}-\frac{a^4}{324}}=\frac{a^2\sqrt{11}}{12}$$При $a=6$ получаем:
$$S=\frac{6^2\sqrt{11}}{12}=3\sqrt{11}$$Плоскость пересекает ребро $CD$ в точке $P$, для которой $CP:PD=2:1$. Площадь сечения $MLPN$ равна $3\sqrt{11}$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определяют координаты точек, путая отношение $1:2$ с отношением $2:1$.
Не доказывают, что найденная точка на ребре $CD$ принадлежит плоскости $LMN$.
Используют площадь треугольника вместо площади четырёхугольника сечения.
Забывают, что в правильном тетраэдре угол между любыми двумя рёбрами, выходящими из одной вершины, равен $60^\circ$.