Плоскость в прямой призме
В основании прямой призмы $ABC A_1B_1C_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB$. Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP:PB=1:3$, а точка $Q$ — середина ребра $A_1C_1$. Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha$, перпендикулярную отрезку $PQ$. Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB$. Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ$, считая от точки $P$, если известно, что $AB=AA_1$, $AB:BC=2:5$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В основании прямой призмы лежит равнобедренный а) Докажите, что плоскость параллельна ребру б) Найдите отношение, в котором плоскость делит отрезок считая от точки если известно, что | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Как связаны направление ребра $AB$ и плоскость, перпендикулярная отрезку $PQ$? Используйте координаты или векторы.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Удобно выбрать координаты: $A=(-1,0,0)$, $B=(1,0,0)$, а высоту призмы направить вдоль оси $Oz$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
При таком выборе $C=(0,2\sqrt{6},0)$, $P=(-\frac12,0,0)$, $Q=(-\frac12,\sqrt{6},2)$, $M=(\frac12,\sqrt{6},0)$. Уравнение плоскости через $M$, перпендикулярной $PQ$, имеет вид $\sqrt{6}y+2z=6$. На отрезке $PQ$ точка пересечения соответствует параметру $t=\frac35$.