Тетраэдр и квадрат на рёбрах
На рёбрах $AC$, $AD$, $BD$ и $BC$ тетраэдра $ABCD$ отмечены точки $K$, $L$, $M$ и $N$ соответственно, причём $AK:KC=2:3$. Четырёхугольник $KLMN$ — квадрат со стороной $2$. Докажите, что прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны. Найдите расстояние от вершины $B$ до плоскости $KLM$, если объём тетраэдра $ABCD$ равен $25$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| На рёбрах и тетраэдра отмечены точки а) Докажите, что прямые и перпендикулярны. б) Найдите расстояние от вершины до плоскости если объём тетраэдра равен 25. | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Выразите направления сторон квадрата через векторы рёбер тетраэдра и используйте параллельность противоположных сторон.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Из условия $AK:KC=2:3$ следует, что $AK=\frac{2}{5}AC$. Сначала установите, что $AL:LD=BM:MD=BN:NC=2:3$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Векторы $\overrightarrow{KL}=\frac{2}{5}\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{KN}=\frac{3}{5}\overrightarrow{AB}$. Так как стороны квадрата перпендикулярны, получаем $AB\perp CD$. Затем найдите объём тетраэдра $BKLM$ как долю объёма $ABCD$.