Перпендикулярность и расстояние в кубе
В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $AD$ соответственно.
а) Докажите, что прямые $B_1N$ и $CM$ перпендикулярны.
б) Плоскость $\alpha$ проходит через точки $N$ и $B_1$ параллельно прямой $CM$. Найдите расстояние от точки $C$ до плоскости $\alpha$, если $B_1N=6$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| В кубе точки и середины рёбер и соответственно. а) Докажите, что прямые и перпендикулярны. б) Плоскость проходит через точки и параллельно прямой Найдите расстояние от точки до плоскости если | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Введя координаты вершин куба, выразите координаты точек $M$ и $N$, а затем найдите направляющие векторы прямых $B_1N$ и $CM$.
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Для доказательства перпендикулярности вычислите скалярное произведение направляющих векторов. Для расстояния используйте уравнение плоскости через две точки $N$, $B_1$ и направление $CM$.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
Если ребро куба равно $a$, можно получить нормаль к плоскости $\alpha$, пропорциональную вектору $(4,-2,-5)$. Расстояние от $C$ до $\alpha$ равно $\dfrac{a}{\sqrt{5}}$, а из условия $B_1N=\dfrac{3a}{2}=6$ найдите $a$.