Пирамида с трапецией в основании
Основанием четырёхугольной пирамиды $PABCD$ является трапеция $ABCD$, причём $\angle BAD + \angle ADC = 90^\circ$. Плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны плоскости основания, $K$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$.
а) Докажите, что плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды $KBCP$, если $AB = BC = CD = 4$, а высота пирамиды $PABCD$ равна $9$.
Условие как в банке ФИПИ — открыть и сверить
| Основанием четырёхугольной пирамиды является трапеция , причём . Плоскости и перпендикулярны плоскости основания, точка пересечения прямых и . а) Докажите, что плоскости и перпендикулярны. б) Найдите объём пирамиды , если , а высота пирамиды равна 9. | ||
| |
Это задание с развёрнутым решением: ответом считается запись хода решения, а не строка. Напишите решение на бумаге и сравните с разбором — там каждый шаг с обоснованием.
Открыть разбор1Мягкая — с чего смотретьуровень 1 из 3
Какие стороны трапеции являются параллельными, если прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$? Что означает условие $\angle BAD + \angle ADC = 90^\circ$?
2Наводящая — какие числа считатьуровень 2 из 3
Так как $AD \parallel BC$, сумма данных углов показывает, что $AB \perp CD$. Для доказательства перпендикулярности плоскостей используйте их общую прямую $PK$ и угол между прямыми $AB$ и $CD$ в основании.
3Прямая — фактически решениеуровень 3 из 3
В треугольнике $KBC$ имеем $KB = KC$, поскольку $AB = CD$ и $AD \parallel BC$, а также $\angle BKC = 90^\circ$. При $BC=4$ получаем $KB=KC=2\sqrt{2}$, $S_{KBC}=4$, поэтому $V_{KBCP}=\frac13\cdot4\cdot9$.