Решение: Пирамида с трапецией в основании
Основанием четырёхугольной пирамиды $PABCD$ является трапеция $ABCD$, причём $\angle BAD + \angle ADC = 90^\circ$. Плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны плоскости основания, $K$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD$.
а) Докажите, что плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны.
б) Найдите объём пирамиды $KBCP$, если $AB = BC = CD = 4$, а высота пирамиды $PABCD$ равна $9$.
Решение по шагам
9 шаговПоскольку $ABCD$ — трапеция, а прямые $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $K$, её основаниями являются $AD$ и $BC$. Следовательно, $AD \parallel BC$.
Из условия $\angle BAD + \angle ADC = 90^\circ$ следует, что угол между прямыми $AB$ и $CD$ равен $90^\circ$. Значит, $AB \perp CD$.
Точка $K$ принадлежит прямым $AB$ и $CD$, а точка $P$ принадлежит обеим плоскостям $PAB$ и $PCD$. Поэтому плоскости $PAB$ и $PCD$ пересекаются по прямой $PK$.
Обе плоскости перпендикулярны плоскости основания. Угол между ними равен углу между их линиями пересечения с основанием, то есть углу между прямыми $AB$ и $CD$. Так как $AB \perp CD$, то $PAB \perp PCD$.
Рассмотрим треугольник $KBC$. Из параллельности $AD$ и $BC$ треугольники $KAD$ и $KBC$ подобны. Поэтому $\frac{KA}{KB}=\frac{KD}{KC}$. Так как $AB=KB-KA$ и $CD=KD-KC$, а $AB=CD$, получаем $KB=KC$.
Поскольку $AB \perp CD$, а лучи $KB$ и $KC$ лежат на этих прямых, имеем $\angle BKC=90^\circ$. Следовательно, $KBC$ — равнобедренный прямоугольный треугольник с гипотенузой $BC=4$.
Катеты треугольника $KBC$ равны $KB=KC=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$. Его площадь равна $S_{KBC}=\frac12\cdot2\sqrt2\cdot2\sqrt2=4$.
Высота пирамиды $KBCP$ равна высоте исходной пирамиды $PABCD$, поскольку их основания лежат в одной плоскости основания исходной пирамиды. Поэтому $h=9$.
Объём пирамиды равен $V=\frac13 S_{KBC}h=\frac13\cdot4\cdot9=12$.
Плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны; объём пирамиды $KBCP$ равен $12$.
Этот ответ получен в разборе, но не сверен с официальным ключом из банка — проверьте выкладки, прежде чем заучивать результат.
Где здесь ошибаются
Неверно определить основания трапеции и считать параллельными прямые $AB$ и $CD$.
Не обосновать, почему из условия на углы следует $AB \perp CD$.
Использовать высоту пирамиды $PABCD$ не как расстояние от точки $P$ до плоскости основания.
Забыть, что основанием пирамиды $KBCP$ является треугольник $KBC$.